Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

14
Следующие итерации находим по формуле: x
k+1
=
ϕ
(x
k
). Итера-
ционный процесс заканчивается, если |
ϕ
(x
k
) – x
k
| <
ε
или, что
то же самое, |x
k+1
– x
k
| <
ε
. Иллюстрация метода представлена на
рис. 1.7.
y
y
=
x
x
x
*
x
0
x
1
ϕ
(x
0
)
y =
ϕ
(x)
x
2
ϕ
(x
1
)
а
y
=
x
x
x
*
x
0
x
1
y =
(x)
x
3
x
2
x
4
б
y
Рис. 1.7. Сходящийся метод простой итерации:
а –
ϕ′
(x) > 0; б –
ϕ′
(x) < 0
Способ сведения исходного уравнения к виду x =
ϕ
(x) очень
важен, поскольку от вида функции
ϕ
(x) зависит, будет ли итера-
ционный процесс сходиться или нет.
Чтобы понять, каким условиям должна удовлетворять поро-
ждающая итерации функция
ϕ
(x), проведем некоторые теорети-
ческие оценки. Пусть x
k
– известное приближение, отличающее-
ся от искомого корня на величину погрешности |x
k
– x*|. Сле-
дующее приближение x
k+1
будет отличаться от корня на величи-
ну |x
k+1
– x*| = |
ϕ
(x
k
) – x*| = |
ϕ
(x
k
) –
ϕ
(x*)| = |
ϕ′
(
ξ
)| |x
k
– x*|, где
ξ
– некоторая средняя точка отрезка (x
k
, x*). Здесь использована
теорема Лагранжа о конечном приращении, а также равенство
x* =
ϕ
(x*), которое справедливо, поскольку x* – корень. В схо-
дящихся методах каждое следующее приближение должно быть
ближе к корню, чем предыдущее, а это справедливо, если
|
ϕ′
(
ξ
)| ≤ q < 1. Понятно, что чем меньше число q, тем быстрее
сходится итерационный процесс. Можно получить оценку:
|x
k+1
– x*| < q⋅|x
k
– x*| < q
2
⋅|x
k–1
– x*| < … < q
k
⋅|x
0
– x*|.
Если удастся показать, что |x
k+1
– x*| < q⋅|x
k
– x*|
α
,
α
> 1, то гово-
рят, что метод сходится с порядком
α
.
Можно доказать, что необходимым условием сходимости
МПИ является |
ϕ′
(x*)| < 1. Это условие трудно проверить, т.к.
корень неизвестен. Но можно проверить более сильное доста-
Следующие итерации находим по формуле: xk+1 = ϕ(xk). Итера-
ционный процесс заканчивается, если |ϕ(xk) – xk| < ε или, что
то же самое, |xk+1 – xk| < ε. Иллюстрация метода представлена на
рис. 1.7.
   y    а                y = ϕ(x)     y          б
                                                             y=x
               y=x
ϕ(x0)                                        y = ϕ(x)
ϕ(x1)                                x1 x3              x4 x2 x0
                               x
                                              x*                   x
        x* x2 x1         x0

          Рис. 1.7. Сходящийся метод простой итерации:
                     а – ϕ′(x) > 0; б – ϕ′(x) < 0
     Способ сведения исходного уравнения к виду x = ϕ(x) очень
важен, поскольку от вида функции ϕ(x) зависит, будет ли итера-
ционный процесс сходиться или нет.
     Чтобы понять, каким условиям должна удовлетворять поро-
ждающая итерации функция ϕ(x), проведем некоторые теорети-
ческие оценки. Пусть xk – известное приближение, отличающее-
ся от искомого корня на величину погрешности |xk – x*|. Сле-
дующее приближение xk+1 будет отличаться от корня на величи-
ну |xk+1 – x*| = |ϕ(xk) – x*| = |ϕ(xk) – ϕ(x*)| = |ϕ′(ξ)| |xk – x*|, где
ξ – некоторая средняя точка отрезка (xk, x*). Здесь использована
теорема Лагранжа о конечном приращении, а также равенство
x* = ϕ(x*), которое справедливо, поскольку x* – корень. В схо-
дящихся методах каждое следующее приближение должно быть
ближе к корню, чем предыдущее, а это справедливо, если
|ϕ′(ξ)| ≤ q < 1. Понятно, что чем меньше число q, тем быстрее
сходится итерационный процесс. Можно получить оценку:
     |xk+1 – x*| < q⋅|xk – x*| < q2⋅|xk–1 – x*| < … < qk⋅|x0 – x*|.
Если удастся показать, что |xk+1 – x*| < q⋅|xk – x*|α, α > 1, то гово-
рят, что метод сходится с порядком α.
      Можно доказать, что необходимым условием сходимости
МПИ является |ϕ′(x*)| < 1. Это условие трудно проверить, т.к.
корень неизвестен. Но можно проверить более сильное доста-
                                   14

Страницы