Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 14 стр.

Ясно, что при малых τ МПИ будет сходиться медленно, т.к. рас-
стояние между соседними итерациями |xk+1 – xk| = |τ|⋅|F′(x)| ма-
ло. Можно ли выбрать такое значение параметра, при котором
скорость сходимости будет максимальной? Несложный анализ
показывает, что оптимальным значением будет τ = 2/(M + m),
где M = max F ′( x), m = min F ′( x), а скорость сходимости в
         x∈[ a , b ]       x∈[ a , b ]

                                                 M −m
этом случае будет определяться константой q =         .
                                                 M +m

                1.3. Стандартные функции MathCAD
     Для решения уравнения (1.1) в MathCAD служит функция
root, реализующая описанный выше метод секущих. Если
F(x) – это полином, то вычислить все его корни можно также с
помощью функции polyroots.
     Встроенная функция root в зависимости от типа задачи мо-
жет иметь либо два аргумента: root (f(x), x), либо четыре аргу-
мента: root (f(x), x, a, b). Здесь f(x) – скалярная функция, опре-
деляющая уравнение (1.1); x – скалярная переменная, относи-
тельно которой решается уравнение; a, b – границы интервала,
внутри которого происходит поиск корня.
     Первый тип функции root требует дополнительного зада-
ния начального значения переменной x. Для этого нужно просто
предварительно присвоить x некоторое число. Поиск корня бу-
дет производиться вблизи этого числа. Таким образом, присвое-
ние начального значения требует априорной информации о
примерной локализации корня.
     Рассмотрим решение уравнения sin(x) = 0, которое имеет
бесконечное количество корней xN = N π (N = 0, ±1, ±2, ...). Для
поиска корня средствами MathCAD требуется его предвари-
тельная локализация путем задания начального приближения,
например, x = 0.5. MathCAD находит с заданной точностью
только один корень x0 = 0, лежащий наиболее близко к заданно-
му начальному приближению. Если задать другое начальное
значение, например, x = 3, то решением будет другой корень
уравнения x1 = π и т.д.

                                     16