Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

15
точное условие сходимости МПИ |
ϕ′
(x)| < 1, где x – любая точка
некоторого отрезка [a, b], содержащего корень.
Проверим, выполняется ли необходимое условие метода
Ньютона, для которого
)(
)(
)(
xF
xF
xx
′
−=
ϕ
. Вычислим производ-
ную:
()
()
()
10
)*(
)*()*(
)*(
)*()*()*(
1)*(
22
2
<=
′
′′
=
′
′′
−
′
−=
′
xF
xFxF
xF
xFxFxF
x
ϕ
.
Следовательно, метод Ньютона всегда сходится в некоторой ок-
рестности корня x*. Можно показать, что |x
k+1
– x*|<q⋅|x
k
– x*|
2
,
т.е.
α
= 2: метод сходится со вторым порядком. Порядок сходи-
мости метода Чебышева еще выше (
α
= 3), для метода секущих
α
= 1.67, а для метода дихотомии
α
= 1.
Если необходимое условие нарушается, то МПИ будет рас-
ходиться. Иллюстрация расходящихся итерационных методов
приведена на рис. 1.8.
y
y=
x
x
x
0
x
1
y =
ϕ
(x)
x
2
а
x
*
y=
x
x
x
*
x
0
x
1
y =
ϕ
(x)
x
3
x
2
x
4
б
y
Рис. 1.8. Расходящийся метод простой итерации:
а –
ϕ′
(x) > 0; б –
ϕ′
(x) < 0
Метод релаксации – это универсальный вариант МПИ, в ко-
тором
ϕ
(x) = x –
τ
F(x). Параметр релаксации
τ
≠
0 подберем таким
образом, чтобы выполнялось достаточное условие сходимости
метода: ⎟
ϕ′
(x)⎟ < 1 для всех x ∈ [a, b]. В методе релаксации
⎟
ϕ′
(x)⎟ = |1 –
τ⋅
F
′
(x)| < 1, тогда –2 <
τ⋅
F
′
(x) < 0. Таким образом, при
F
′
(x)>0, x ∈ [a, b], условием сходимости будет –2/F
′
(x)<
τ
< 0.
При F
′
(x) < 0 параметр надо выбирать из условия –2/F
′
(x)>
τ
> 0. 
точное условие сходимости МПИ |ϕ′(x)| < 1, где x – любая точка
некоторого отрезка [a, b], содержащего корень.
     Проверим, выполняется ли необходимое условие метода
                                              F ( x)
Ньютона, для которого ϕ ( x) = x −                    . Вычислим производ-
                                              F ′( x)

ную:      ϕ ′ x   =
             ( *) 1  −
                       ( F ′( x*) ) − F ( x*) F ′′( x*) F ( x*) F ′′( x*)
                                   2
                                                        =                 = 0 <1.
                                  (F ′( x*))2              (F ′( x*))2
Следовательно, метод Ньютона всегда сходится в некоторой ок-
рестности корня x*. Можно показать, что |xk+1 – x*| 0; б – ϕ′(x) < 0

     Метод релаксации – это универсальный вариант МПИ, в ко-
тором ϕ(x) = x –τ F(x). Параметр релаксации τ ≠ 0 подберем таким
образом, чтобы выполнялось достаточное условие сходимости
метода: ⎟ϕ′(x)⎟ < 1 для всех x ∈ [a, b]. В методе релаксации
⎟ϕ′(x)⎟ = |1 – τ⋅F′(x)| < 1, тогда –2 < τ⋅F′(x) < 0. Таким образом, при
F′(x)>0, x ∈ [a, b], условием сходимости будет –2/F′(x)< τ < 0.
При F′(x) < 0 параметр надо выбирать из условия –2/F′(x)> τ > 0.

                                       15

Страницы