Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 11 стр.

требуется много времени. Зададим x0 – начальное приближение
и вычислим производную z = F′(x0). На следующих итерациях
используется             вычисленное               значение           производной:
              F ( xk )
 xk +1 = xk −          . Это упрощение несколько замедляет процесс
                 z
сходимости к решению, однако сокращает время каждого ите-
рационного цикла.
      Метод Чебышева является развитием метода Ньютона. Если
приближение xk известно, то следующее приближение находим
                                  f ( xk ) f ( xk ) f ′′( xk )
по формуле xk +1 = xk −                    −                   . Этот метод позво-
                                 f ′( xk )    2( f ′( xk ))3
ляет быстро получить корень, однако требует еще более точного
задания начального приближения x0.
      Метод секущих применяется, когда вычисление производной
F′(x) занимает много времени, а также если функция F(x) задана
таблично. Для этого метода необходимо задать два начальных
приближения: x0, x1, поэтому он называется двухшаговым (все рас-
смотренные выше методы были одношаговыми). Значение произ-
водной можно вычислить с помощью конечно-разностного соот-
                         F ( x1 ) − F ( x0 )
ношения F′(x1) ≈                             . Подставляя это соотношение в
                              x1 − x0
                                                                     F ( x1 )( x1 − x0 )
формулу для метода Ньютона, получим x2 = x1 −                                            .
                                                                     F ( x1 ) − F ( x0 )
На следующей итерации в качестве приближений x0, x1 возьмем
уже вычисленные значения x1, x2, т.е. x0 = x1, x1 = x2, и будем вычис-
лять новое приближение x2. Окончание итерационного цикла про-
изводится по невязке уравнения: |F(x2)| < ε.
       Метод простой итерации (МПИ). Этот метод является
обобщением всех описанных выше одношаговых методов. Слово
«простой» означает, что для вычисления следующего приближе-
ния необходимо знать только одно предыдущее приближение. С
помощью эквивалентных преобразований приведем исходное
уравнение (1.1) к виду, удобному для применения метода простой
итерации: x = ϕ(x). Выберем начальное приближение x0 ∈ [a, b].

                                           13