Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 8 стр.

точно большим. Графический способ – это построение графика
функции F(x) и определение числа корней по количеству пере-
сечений графика с осью x. Ниже для иллюстрации графическим
способом исследовано уравнение F(x) = 0.4 ⋅ 2x – 0.5x – 1 = 0.
На рис. 1.3 приведены по-             3.2
                                            4

строенные         с   помощью
MathCAD графики функций
F1(x) = 0.4 ⋅ 2x и F2(x) = 0.5x     f1( x)  2

+ 1. Корнями являются точ-          f2( x)

ки, в которых пересекаются
                                            0
два графика. Рисунок пока-
зывает, что исходное урав-            −1
                                                  4     2     0     2
нение имеет два корня, рас-                   −5           x           3

положенных на интервалах           Рис.    1.3.  Графический способ нахо-
[–3, 0] и [0, 3].                       ждения интервалов изоляции
    Пусть интервалы изоляции корней известны. Познакомимся
с несколькими итерационными методами, позволяющими найти
корень на известном интервале изоляции [a, b].
    Метод деления отрезка пополам (дихотомии). Найдем сере-
дину отрезка [a, b]: c = (a+b)/2. Корень остался на одной из час-
тей: [a, c] или [c, b]. Если F(a)⋅F(с) < 0, то корень попал на отре-
зок [a, c], тогда деление отрезка можно повторить, приняв в каче-
стве нового правого конца точку c, т.е. b = c. В противном случае
корень попал на половину [c, b], и необходимо изменить значение
левого конца отрезка: a = c. Поскольку корень всегда заключен
внутри отрезка, итерационный процесс можно останавливать, ес-
ли длина отрезка станет меньше заданной точности: |b – a| < ε .
    В случае сложных уравнений вычисления необходимо про-
водить с использованием ЭВМ. На рис. 1.4 приведен текст про-
граммы MathCAD, реализующей метод дихотомии для решения
уравнения F(x) = x2 – x – 1 = 0. Метод реализован в виде функ-
ции от аргументов a, b (концы интервала изоляции) и точности
метода ε. Вызов этой функции при значениях a = –1, b = 0,
ε = 0.01 дает значение корня – 0.617, при этом невязка уравне-
ния, которую вычисляют, чтобы убедиться в правильности ре-
шения, равна –1.892⋅10–3.
                                   10