Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 6 стр.

1. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
                     1.1. Постановка задачи
      Дано нелинейное алгебраическое уравнение
                             F(x) = 0.                          (1.1)
Нелинейность уравнения означает, что график функции не есть
прямая линия. Решить уравнение – это найти x* ⊂ R : F(x*) = 0.
Значение x* называют кор-         y                        y = F(x)
нем уравнения. Нелинейное
уравнение может иметь не-
сколько корней. Геометри-
ческая интерпретация такой                                         x
ситуации представлена на               x1*    x2*          x3*
рис. 1.1. Корнями уравнения
(1.1) являются точки x1*, x2*,
x3*, в которых функция F(x) Рис. 1.1. Геометрическая иллюстрация
пересекает ось x.                          уравнения (1.1)
      Необходимое условие существования корня уравнения (1.1)
и достаточное условие единственности следуют из известной
теоремы Больцано–Коши. Пусть F(x) непрерывна и F(a)F(b) < 0
(т.е. на концах интервала функция имеет разные знаки). Тогда
внутри отрезка [a, b] существует корень уравнения F(x) = 0. Ко-
рень будет единственным, если F′(x) не меняет знак на отрезке
[a, b], т.е. F(x) – монотонная функция.
      Методы решения уравнения (1.1) можно разделить на точ-
ные (аналитические) и приближенные (итерационные). Точными
методами корень находится за конечное число действий и пред-
ставляется некоторой алгебраической формулой. Процесс нахо-
ждения решения приближенными методами бесконечен. Реше-
нием называется бесконечная последовательность {xn}, такая,
что lim xn = x* . По определению предела, для любого сколь
     n →∞
угодно малого наперед заданного ε найдется такое N, что при
n > N |xn – x*| < ε. Члены этой последовательности {xn} называ-
ются последовательными приближениями к решению, или ите-
рациями. Наперед заданное число ε называют точностью мето-
                                 8