Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

52
мулы приближенного интегрирования, которые называются
квадратурными формулами. Простейшие из них выводятся не-
посредственно из определения интеграла, т.е. из представления
(4.5). Зафиксировав там некоторое n ≥ 1, будем иметь
()( )
1
1
−
=
−≈
∑
ii
n
i
i
xxfI
ξ
. (4.6)
Это приближенное равенство назовем общей формулой прямо-
угольников. Геометрически площадь криволинейной трапеции
приближенно заменяется площадью ступенчатой фигуры, со-
ставленной из прямоугольников, основаниями которых служат
отрезки [x
i–1
, x
i
], а высотами – ординаты
(
)
i
f
ξ
.
Рассмотрим ряд наиболее употребительных квадратурных
формул. Условимся в дальнейшем пользоваться равномерным
разбиением отрезка [a, b] на n частей точками x
i
с шагом
n
ab
h
−
=
, полагая x
0
= a, x
i
= x
i–1
+ h, x
n
= b. При таком разбиении
формула (4.6) приобретает вид
()
∈≈
∑
=
i
n
i
i
fhI
ξξ
,
1
[x
i–1
, x
i
]. (4.7)
Теперь дело за фиксированием точек
(
)
i
f
ξ
на элементарных
отрезках [x
i–1
, x
i
]. Рассмотрим три случая.
1.
Положим
ξ
i
= x
i–1
. Тогда из (4.7) получаем
() ()
∑∑
−
==
−
=≈
1
01
1
n
i
i
n
i
i
xfhxfhI . Эта формула называется формулой
левых прямоугольников. Ее геометрическая интерпретация при-
ведена на рис. 4.5.
a b
x
Рис. 4.5. Геометрическая интерпретация формулы
левых прямоугольников 
мулы приближенного интегрирования, которые называются
квадратурными формулами. Простейшие из них выводятся не-
посредственно из определения интеграла, т.е. из представления
(4.5). Зафиксировав там некоторое n ≥ 1, будем иметь
                                        n
                                  I≈   ∑ f (ξ )(x − x ) .
                                       i =1
                                                   i        i       i −1               (4.6)

Это приближенное равенство назовем общей формулой прямо-
угольников. Геометрически площадь криволинейной трапеции
приближенно заменяется площадью ступенчатой фигуры, со-
ставленной из прямоугольников, основаниями которых служат
отрезки [xi–1, xi], а высотами – ординаты f (ξi ) .
    Рассмотрим ряд наиболее употребительных квадратурных
формул. Условимся в дальнейшем пользоваться равномерным
разбиением отрезка [a, b] на n частей точками xi с шагом
    b−a
h=       , полагая x0 = a, xi = xi–1 + h, xn = b. При таком разбиении
      n
формула (4.6) приобретает вид
                                              n
                                  I ≈h      ∑ f (ξ ) ,
                                            i =1
                                                        i           ξi ∈ [xi–1, xi].   (4.7)

   Теперь дело за фиксированием точек f (ξ i ) на элементарных
отрезках [xi–1, xi]. Рассмотрим три случая.
   1. Положим           ξi = xi–1. Тогда    из (4.7)  получаем
        n                  n −1
I ≈h   ∑ f (x ) = h∑ f (x ) .
       i =1
                i −1
                           i =0
                                   i          Эта формула называется формулой

левых прямоугольников. Ее геометрическая интерпретация при-
ведена на рис. 4.5.




                       a                                        b          x
            Рис. 4.5. Геометрическая интерпретация формулы
                         левых прямоугольников
                                                   52

Страницы