Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 51 стр.

      2. Пусть ξi = xi. Тогда имеем
                                                           n
                                               I ≈h       ∑ f (x ) .
                                                          i =1
                                                                    i


    Это формула правых прямоугольников.
                         1
    3. Фиксируем ξ i = ( xi − xi −1 ) . В результате получаем квад-
                         2
ратурную формулу средних прямоугольников:
                     n −1                   n
                             ⎛     h⎞            ⎛     h⎞
                I ≈h
                     i =0    ⎝
                                   ∑
                           f ⎜ xi + ⎟ = h
                                   2⎠     i =1
                                               f ⎜ xi − ⎟ .
                                                 ⎝     2⎠
                                                                   ∑
    Покажем, что эта формула имеет второй порядок точности.
Рассмотрим сначала вычисление интеграла на отрезке
[–h/2, h/2],
                                               h2

                                               ∫ f (x ) dx ≈ hf
                                              −h 2
                                                                        0   ,

где f0 = f(0). Пусть
                                      x
                        F (x ) = ∫ f (x )dx, F±1 2 = F (± h 2) ;
                                      0
                            h2

                            ∫ f (x )dx =F (h 2) − F (− h 2) .
                           −h 2
Разлагая в ряд Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа,
имеем
                         h      h 2 ' h 3 ''
                F±1 2 = ± f 0 +    f ±   f (ξ ± ) ,
                         2      8 0 48
где ξ ± – некоторые точки, такие что − h 2 < ξ − < ξ + < h 2 . То-
      h2
                                 h 3 ''        h
гда    ∫   f (x )dx = hf 0 +        f (ξ ), ξ < . Для всего интервала [a, b]
      −h 2
                                 24            2
формула имеет вид:
              b                   n
                                                       (b − a ) h 2 f '' (ξ ),
             ∫    f (x )dx = h   ∑f
                                 i =0
                                          i +1 2   +
                                                         24
                                                                                 a <ξ