Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 52 стр.

UptoLike

54
Таким образом, ошибка численного интегрирования по
формуле средних прямоугольников убывает пропорционально
квадрату шага h, т.е. формула имеет второй порядок точности.
Нетрудно убедиться, что погрешность численного интегрирова-
ния по формулам левых и правых прямоугольников убывает по
линейному закону.
Подстановка в интеграл
()
b
a
dxxf вместо функции f(x) ее
интерполяционного многочлена Лагранжа той или иной степени
приводит к семейству квадратурных формул, называемых фор-
мулами НьютонаКотеса. Однако использование в этих фор-
мулах многочленов высоких порядков может быть оправдано
только для достаточно гладких подынтегральных функций. Ча-
ще используются квадратурные правила, получающиеся путем
дробления промежутка интегрирования
на большое число мел-
ких частей. Интегрирование на каждой из частей производится с
помощью однотипных простейших формул невысокого порядка.
Приведем два таких правилатрапеций и Симпсона.
Простейшая формула трапеций получается, если на каждом
отрезке [x
i–1
, x
i
] участок кривой (f
i–1
, f
i
) интерполировать линей-
ной зависимостью. Эта формула имеет второй порядок точности
и может быть записана в виде
()
+
+
=
1
1
0
2
n
i
i
n
b
a
f
ff
hdxxf .
Если на каждом отрезке [x
i–1
, x
i
, x
i+1
] участок кривой
(f
i–1
, f
i
, f
i+1
) интерполировать параболой, то придем к формуле
Симпсона, имеющей четвертый порядок точности:
() ()
n
b
a
fffff
h
dxxf +++++
...424
3
3210
.
4.4. Использование стандартных функций MathCAD
для интегрирования
Интегрирование устроено в MathCAD по принципу «как
пишется, так и вводится». Чтобы вычислить определенный ин-
теграл, следует напечатать его обычную математическую форму
   Таким образом, ошибка численного интегрирования по
формуле средних прямоугольников убывает пропорционально
квадрату шага h, т.е. формула имеет второй порядок точности.
Нетрудно убедиться, что погрешность численного интегрирова-
ния по формулам левых и правых прямоугольников убывает по
линейному закону.
                                     b
     Подстановка в интеграл ∫ f ( x )dx вместо функции f(x) ее
                                     a
интерполяционного многочлена Лагранжа той или иной степени
приводит к семейству квадратурных формул, называемых фор-
мулами Ньютона–Котеса. Однако использование в этих фор-
мулах многочленов высоких порядков может быть оправдано
только для достаточно гладких подынтегральных функций. Ча-
ще используются квадратурные правила, получающиеся путем
дробления промежутка интегрирования на большое число мел-
ких частей. Интегрирование на каждой из частей производится с
помощью однотипных простейших формул невысокого порядка.
Приведем два таких правила – трапеций и Симпсона.
      Простейшая формула трапеций получается, если на каждом
отрезке [xi–1, xi] участок кривой (fi–1, fi) интерполировать линей-
ной зависимостью. Эта формула имеет второй порядок точности
и может быть записана в виде
                             b
                                             ⎛ f + f n n −1 ⎞
                        ∫       f (x )dx ≈ h⎜⎜ 0
                                             ⎝ 2
                                                  ∑     +
                                                          i =1
                                                               f i ⎟⎟ .
                                                                    ⎠
                             a
      Если на каждом отрезке [xi–1, xi, xi+1] участок кривой
(fi–1, fi, fi+1) интерполировать параболой, то придем к формуле
Симпсона, имеющей четвертый порядок точности:
                   b
                                   h
                   ∫ f (x ) dx ≈ 3 ( f 0 + 4 f1 + 2 f 2 + 4 f 3 + ... + f n ) .
                   a
       4.4. Использование стандартных функций MathCAD
                               для интегрирования
    Интегрирование устроено в MathCAD по принципу «как
пишется, так и вводится». Чтобы вычислить определенный ин-
теграл, следует напечатать его обычную математическую форму
                                      54