Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 57 стр.

5. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
        5.1. Численные методы решения задачи Коши
     Обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ)
можно описывать задачи движения системы взаимодействую-
щих материальных точек, химической кинетики, электрических
цепей, сопротивления материалов (например, статический про-
гиб упругого стержня) и многие другие. Ряд важных задач для
уравнений в частных производных также сводится к задачам для
ОДУ. Так бывает, если многомерная задача допускает разделе-
ние переменных (например, задачи на нахождение собственных
колебаний упругих балок и мембран простейшей формы). Таким
образом, решение ОДУ занимает важное место среди приклад-
ных задач физики, химии и техники.
     Рассмотрим ОДУ первого порядка, записанное в общем виде:
                                  dy
                                      = f ( x, y ) .             (5.1)
                                  dx
     Общее решение (5.1) содержит произвольную константу С,
т.е. является однопараметрическим семейством интегральных
кривых y (x ) = ∫ f (x, y ) dx + C . Для выбора конкретной интеграль-
ной кривой следует определить значение константы С, для чего
достаточно задать начальные данные
                      y(x0) = y0.                         (5.2)
    Несмотря на внешнюю простоту уравнения (5.1), решить
его аналитически, т.е. найти общее решение y = y (x, C ) с тем,
чтобы затем выделить из него интегральную кривую y = y (x ) ,
проходящую через точку (x0 , y0 ) , удается лишь для некоторых
специальных типов уравнений. В общем случае решение задачи
можно найти только приближенно.
    Приближенное решение задачи (5.1), (5.2) будем искать на
промежутке [x0, xn]. Построим расчетную сетку xi = x0 + ih,
                            xn − x0
i = 1, 2,…,n, с шагом h =           . Решение, найденное в узлах
                               n
сетки yi = y(xi), занесем в таблицу
                                 59