Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 59 стр.

                                                     q
                              ϕ (xi , yi , h ) = ∑ cn k in (h ) ,
                                                    n =1

                                    k 1 (h ) = f (xi , yi ) ,
                                      i


                        k 2i (h ) = f (xi + α 2 h, yi + β 21k1i h ) ,                     (5.8)
                   k (h ) = f (xi + α 3h, yi + β k h + β k h ) ,
                    i
                    3
                                                              i
                                                           31 1
                                                                            i
                                                                         32 2

                …………………………………………….
             kqi (h ) = f (xi + α q h, yi + β q1k1i h + ... + β q ,q−1k qi −1h ) .
Здесь αn, βnj, сn, 0 < j < n ≤ q – параметры метода, которые выби-
раются из условия, чтобы метод имел максимально высокий по-
рядок точности p. Можно показать, что p ≤ q. Величины kli (h )
представляют собой правую часть уравнения при различных
значениях аргументов. Их вычисление, занимающее основное
расчетное время, называют этапом метода. Простейшим одно-
этапным методом (q = 1) можно считать метод Эйлера. Наибо-
лее распространенными являются методы Рунге–Кутты второго,
третьего и четвертого порядка (т.е. двух-, трех- и четырехэтап-
ные). При q = 2 получим однопараметрическое семейство двух-
этапных методов Рунге–Кутты второго порядка аппроксимации:
                                            ⎛       h         h i⎞
                k1i = f (xi , yi ), k2i = f ⎜ xi +    , yi +   k ⎟
                                            ⎝      2a        2a 1 ⎠ ,
                                               [
                         yi+1 = yi + h (1 − a )k1i + ak2i .              ]
          1
При a =     получаем формулы
          2
                                               (
                 k 1i = f (xi , yi ), k 2i = f xi + h, yi + hk1i ,                    )
                                                                                          (5.9)
                                   = y + [k + k ],
                                        h       i          i
                           yi +1     i                     2      i = 0 , 1, 2 ,...
                                        2       1


При a = 1 получим метод, совпадающий с (5.7),
                                             ⎛     h      h ⎞
               k 1i = f (xi , yi ), k 2i = f ⎜ xi + , yi + k1i ⎟,
                                             ⎝     2      2 ⎠
                              yi +1 = yi + hk 2i , i = 0, 1, 2 ,...
                                              61