Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

63
путем замены переменных
(
)
(
)
(
)
xyxz
k
k
= , k = 1, 2, …, n–1.
Для решения систем ОДУ полностью применимы все при-
веденные выше методы. Рассмотрим это на примере ОДУ вто-
рого порядка
],[),()()( battrutqutpu
∈
=
+
′
+
′′
, (5.15)
где u(t) – искомое решение; p(t), q(t), r(t) – заданные функции
коэффициентов. Пусть для уравнения (5.15) поставлены началь-
ные данные .)(,)(
00
vauuau =
′
= С помощью замены:
v(t) = u′(t), v′(t) = u′′(t) уравнение сводится к системе:
00
)(,)(],,[,
),,(
),,(
vavuaubat
vutgv
vutfu
==∈
⎩
⎨
⎧
=
′
=
′
,
где u(t),v(t) – искомые функции; g(t,u,v) ≡ r(t) – p(t)v – q(t)u,
f(t,u,v) ≡v – функции правых частей; u
0
, v
0
– начальные данные.
Метод Эйлера легко обобщается на эту систему:
).,,(),,,(
11
iii
ii
iii
ii
zytg
zz
zytf
yy
=
−
=
−
++
ττ
Здесь y
i
, z
i
– массивы приближенных решений для u, v соответ-
ственно, i = 1, 2,..., M. Решение находим по явным формулам:
y
0
=
u
0
, z
0
=
v
0
, y
i+1
=
y
i
+
τ
f(t
i
, y
i
,z
i
), z
i+1
=
z
i
+
τ
g(t
i
, y
i
, z
i
). i =
1,
2,...,
M.
Метод Рунге–Кутты (5.10) можно обобщить на систему
следующим образом
.
2
,
2
),,,(),,,(
),,,(),,,(
21
1
21
1
112112
11
ll
zz
kk
yy
lzkytgllzkytfk
zytglzytfk
iiii
iiiiii
iiiiii
+
=
−
+
=
−
+++=+++=
==
++
ττ
ττττττ
5.2. Краевая задача для обыкновенных дифференциальных
уравнений второго порядка
Дано дифференциальное уравнение второго порядка
].,[),()()( battfutgutpu
∈
=
+
′
+
′′
(5.16)
Здесь −)(),(),( tftgtp заданные функции коэффициентов. Для
определения единственного решения необходимо задать два до-
полнительных условия на искомую функцию u(t). Если оба ус-
путем замены переменных z k (x ) = y (k ) (x ) , k = 1, 2, …, n–1.
       Для решения систем ОДУ полностью применимы все при-
веденные выше методы. Рассмотрим это на примере ОДУ вто-
рого порядка
                         u′′ + p (t )u′ + q (t )u = r (t ), t ∈ [a, b] , (5.15)
где u(t) – искомое решение; p(t), q(t), r(t) – заданные функции
коэффициентов. Пусть для уравнения (5.15) поставлены началь-
ные данные u (a) = u 0 , u ′(a ) = v 0 . С помощью замены:
v(t) = u′(t), v′(t) = u′′(t) уравнение сводится к системе:
⎧u′ = f (t , u , v)
⎨                      , t ∈ [a, b], u (a) = u 0 , v(a) = v 0 ,
⎩ v ′ = g (t , u , v )
где u(t),v(t) – искомые функции; g(t,u,v) ≡ r(t) – p(t)v – q(t)u,
f(t,u,v) ≡v – функции правых частей; u0, v0– начальные данные.
Метод Эйлера легко обобщается на эту систему:
               yi +1 − yi                     z −z
                          = f (ti , yi , zi ), i +1 i = g (ti , yi , zi ).
                       τ                             τ
Здесь yi, zi – массивы приближенных решений для u, v соответ-
ственно, i = 1, 2,..., M. Решение находим по явным формулам:
 y0 = u0, z0 = v0, yi+1 = yi+τ f(ti , yi ,zi), zi+1 = zi + τ g(ti, yi, zi). i = 1, 2,..., M.
     Метод Рунге–Кутты (5.10) можно обобщить на систему
следующим образом
      k1 = f (ti , yi , zi ), l1 = g (ti , yi , zi ),
       k2 = f (ti + τ , yi + τk1 , zi + τl1 ), l2 = g (ti + τ , yi + τk1 , zi + τl1 ),
       yi+1 − yi       k1 + k 2 zi+1 − zi l1 + l2
                   =           ,         =        .
           τ              2         τ        2
 5.2. Краевая задача для обыкновенных дифференциальных
                 уравнений второго порядка
    Дано дифференциальное уравнение второго порядка
         u′′ + p (t )u′ + g (t )u = f (t ), t ∈ [ a, b].    (5.16)
Здесь p(t ), g (t ), f (t ) − заданные функции коэффициентов. Для
определения единственного решения необходимо задать два до-
полнительных условия на искомую функцию u(t). Если оба ус-
                                            63

Страницы