Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

62
Приведем формулы трех- и четырехэтапных методов.
Трехэтапный метод Рунге–Кутты (вариант 1)
() ( )
(
)
()
..210,4
6
,2,22,
3211
213121
,.,, ikkk
h
yy
hk+-hk+h,yxf k/+hk,y+h/x= f k,yx= fk
ii
iiiiii
=+++=
=
+
(5.10)
Трехэтапный метод Рунге–Кутты (вариант 2)
() ( )
(
)
()
..210,3
4
,3232,33,
311
23121
,.,, ikk
h
yy
hk,yh+xf k/+hk,y+h/x= f k,yx= fk
ii
iiiiii
=++=
+=
+
(5.11)
Четырехэтапный метод Рунге–Кутты (вариант 1)
(
)( )
(
)
()
()
,...,, ikkkk
h
yy
+hk+h,yxfk
/+hk,y+h/xf k/+hk,y+h/x= f k,yx= fk
ii
ii
ixiiii
210,22
6
,
,22,22,
43211
34
23121
=++++=
=
=
+
(5.12)
Четырехэтапный метод Рунге–Кутты (вариант 2)
() ( )
(
)
()
()
,...,, ikkk
h
yy
hk+hk+hk+h,y(xfk
/+hk,y+h/xf k/+hk,y+h/x= f k,yx= fk
ii
ii
iiiiii
210,4
6
,22
,22,44,
4311
3214
23121
=+++=
−=
=
+
(5.13)
Численное решение систем ОДУ
Система ОДУ в общем виде может быть записана следую-
щим образом:
()
njyyyxf
dx
dy
nj
j
,...,2,1,,...,,,
21
== . (5.14)
Поставим для (5.14) задачу Коши:
(
)
0
0
jj
yxy = .
К решению задачи Коши для системы ОДУ сводится также
задача Коши для ОДУ высших порядков
(
)
() ( ) ( )
()
121
,...,,,
−
=
n
yyyxf
dx
yd
j
j
n
,
()
00
ϕ
=xy
,
()
()
10
1
ϕ
=xy , …,
(
)
(
)
10
1
−
−
=
n
n
xy
ϕ
     Приведем формулы трех- и четырехэтапных методов.
Трехэтапный метод Рунге–Кутты (вариант 1)
 k1= f (xi ,yi ), k 2= f (xi+h/ 2 ,yi+hk1 / 2), k3 = f (xi+h,yi -hk1+2hk 2 ),
                                 h                                               (5.10)
                yi +1 = yi +       (k1 + 4k2 + k3 ), i = 0,1, 2,...
                                 6
Трехэтапный метод Рунге–Кутты (вариант 2)
  k1= f (xi ,yi ), k2= f (xi+h/ 3,yi+hk1 / 3), k3 = f (xi+ 2h 3 ,yi + 2hk2 3),
                                     h                                            (5.11)
                        yi+1 = yi + (k1 + 3k3 ), i = 0, 1, 2,...
                                     4
Четырехэтапный метод Рунге–Кутты (вариант 1)
  k1= f (xi ,yi ), k 2= f (xi+h/ 2 ,yi+hk1 / 2), k3 = f (x x+h/ 2 ,yi+hk2 / 2 ),
                              k 4 = f (xi+h,yi+hk3 ),                             (5.12)
                             h
               yi+1 = yi + (k1 + 2k 2 + 2k3 + k 4 ), i = 0, 1, 2,...
                             6
Четырехэтапный метод Рунге–Кутты (вариант 2)
 k1= f (xi ,yi ), k 2= f (xi+h/ 4 ,yi+hk1 / 4 ), k3 = f (xi+h/ 2 ,yi+hk2 / 2 ),
                    k 4 = f ((xi+h,yi+hk1 − 2hk 2+2hk3 ),                         (5.13)
                    h
                      (k1 + 4k3 + k4 ), i = 0,1, 2,...
               yi+1 = yi +
                    6
Численное решение систем ОДУ
    Система ОДУ в общем виде может быть записана следую-
щим образом:
               dy j
                    = f j (x, y1 , y2 ,..., yn ), j = 1, 2,..., n . (5.14)
               dx
    Поставим для (5.14) задачу Коши:
                                y j (x0 ) = y 0j .
    К решению задачи Коши для системы ОДУ сводится также
задача Коши для ОДУ высших порядков
     d (n ) y j
        dx
                    (                       )
                = f j x, y (1) , y ( 2 ) ,..., y ( n−1) ,

     y (x0 ) = ϕ0 , y (1) ( x0 ) = ϕ1 , …, y (n −1) (x0 ) = ϕ n −1

                                         62

Страницы