Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 58 стр.

      xi          x0      x1           …              xn
      yi          y0      y1           …              yn
   На каждом локальном интервале (xi , xi +1 ) решение задачи
представим в виде
                                          x i +1
                           yi +1 − yi =    ∫ f (x, y ) dx .                  (5.3)
                                           xi

    Заменим интеграл какой-либо квадратурной формулой чис-
ленного интегрирования. Если воспользоваться простейшей
формулой левых прямоугольников первого порядка точности
                               xi +1

                                ∫ f (x, y )dx = hf (xi , y i ) ,
                                xi

то получим явную формулу Эйлера:
                      y i +1 = y i + hf ( xi , y i ) , i = 0, 1, ..., n − 1 . (5.4)
     Если в (5.3) использовать формулу правых прямоугольни-
ков, то получим неявный метод Эйлера
              y i +1 = y i + hf (xi +1 , y i +1 ) , i = 0, 1, ..., n − 1 ,    (5.5)
в котором для вычисления неизвестного значения y i +1 ≈ y (xi +1 )
по известному значению y i ≈ y (xi ) требуется решать нелиней-
ное уравнение.
     Если для приближенного вычисления интеграла в (5.3) вос-
пользоваться формулой средних прямоугольников
                   xi +1
                    ∫ f (x , y )dx = h f (xi + h / 2, y (xi + h / 2)) ,
                    xi
то получим метод предиктор–корректор:
                              h
                yi+1 2 = yi + f (xi , yi ) ,
                              2
                                            (
                yi +1 = yi + h f xi + h / 2, yi +1 2 .        )              (5.6)
Метод (5.6) является частным случаем методов Рунге–Кутты:
                      y i +1 = y i + hϕ (xi , y i , h ) , (5.7)
где


                                                60