Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

64
ловия заданы в одной точке t = t
0
, то мы имеем задачу Коши для
системы (5.17), которая может быть решена методами, описан-
ными в п. 5.1. Допустим теперь, что два дополнительных усло-
вия поставлены в разных точках: x = a и x = b:
⎩
⎨
⎧
=
′
+
=
′
+
Bbulbul
Aaukauk
)()(
)()(
21
21
, (5.17)
где A, B, k
1
, k
2
, l
1
, l
2
– заданные константы. Задача (5.16), (5.17)
называется краевой. Для приближенного решения краевой зада-
чи используют конечно-разностный метод и метод стрельбы.
Конечно-разностный метод
Введем на отрезке [a, b] разностную сетку (t
0
, t
1
, t
2
, ..., t
M
),
t
i
= a +
τ
i, i = 0, 1,..., M,
τ
= (b–a)/M, M – число точек разностной
сетки. Вместо точного решения u(t) будем отыскивать приближен-
ное решение в узлах разностной сетки: y
i
= y(t
i
). Используя форму-
лы приближенного дифференцирования:
,
2
)(
11
τ
−+
−
≈
′
ii
i
yy
tu
,
2
)(
2
11
τ
−+
+−
≈
′′
iii
i
yyy
tu заменим исходное уравнение и краевые
условия разностной схемой:
.,
,,...,1),()(
2
)(
2
1
21
1
201
11
2
11
B
yy
lylA
yy
kyk
Mitfytg
yy
tp
yyy
MM
M
o
iii
ii
i
iii
=
−
+=
−
+
==+
−
+
+−
−
−+
−+
τ
τ
τ
τ
Получим систему M+1 линейных алгебраических уравнений на
вектор неизвестных (y
0
, y
1
, y
2
, ..., y
M
):
–С
0
y
0
+ B
0
y
1
= F
0
,
A
i
y
i–1
– C
i
y
i
+ B
i
y
i+1
= F
i
, i = 1, 2,..., M–1,
A
M
y
M–1
–C
M
y
M
= F
M
,
где
C
i
= 2 – g(t
i
)
τ
2
, A
i
= 1 – p(t
i
)
τ/
2
,
B
i
= 1 + p(t
i
)
τ/
2
,
F
i
=
τ
2
f(t
i
),
i = 1, 2,..., M–1,
C
0
= k
2
–
τ
k
1
, B
0
= k
2
, F
0
= A
τ,
C
M
= l
2
+
τ
l
1
, A
M
= l
2
, F
M
= –B
τ.
Выпишем матрицу системы: 
ловия заданы в одной точке t = t0, то мы имеем задачу Коши для
системы (5.17), которая может быть решена методами, описан-
ными в п. 5.1. Допустим теперь, что два дополнительных усло-
вия поставлены в разных точках: x = a и x = b:
                      ⎧k1u (a ) + k 2u′(a ) = A
                      ⎨                         ,        (5.17)
                      ⎩l1u (b) + l2u′(b) = B
где A, B, k1, k2, l1, l2 – заданные константы. Задача (5.16), (5.17)
называется краевой. Для приближенного решения краевой зада-
чи используют конечно-разностный метод и метод стрельбы.
Конечно-разностный метод
       Введем на отрезке [a, b] разностную сетку (t0, t1, t2, ..., tM),
ti = a + τ i, i = 0, 1,..., M, τ = (b–a)/M, M – число точек разностной
сетки. Вместо точного решения u(t) будем отыскивать приближен-
ное решение в узлах разностной сетки: yi = y(ti). Используя форму-
                                                            y − yi −1
лы приближенного дифференцирования: u′(ti ) ≈ i +1                    ,
                                                                2τ
          y − 2 yi + yi −1
u′′(ti ) ≈ i +1              , заменим исходное уравнение и краевые
                   τ
                   2

условия разностной схемой:
     yi +1 − 2 yi + yi −1            yi +1 − yi −1
                          + p (t i )               + g (ti ) yi = f (ti ), i = 1,..., M ,
             τ2                            2τ
                 y − yo                           y − yM −1
    k1 y0 + k2 1          = A, l1 yM + l2 M                     = B.
                       τ                               τ
Получим систему M+1 линейных алгебраических уравнений на
вектор неизвестных (y0, y1, y2, ..., yM):
       –С0y0 + B0 y1 = F0,
       Ai yi–1 – Ciyi + Biyi+1 = Fi, i = 1, 2,..., M–1,
       AMyM–1–CM yM = FM,
где
Ci = 2 – g(ti)τ2, Ai = 1 – p(ti) τ/ 2, Bi = 1 + p(ti) τ/ 2, Fi = τ2f(ti),
i = 1, 2,..., M–1,
C0 = k2 – τk1, B0 = k2, F0 = Aτ, CM = l2 + τl1, AM = l2, FM = –Bτ.
Выпишем матрицу системы:

                                           64

Страницы