Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

66
Чтобы свести исходную крае-
вую задачу к задаче Коши, не-
обходимо в точке t = a задать
дополнительное краевое усло-
вие u
′
(a) = v
0
. Величина v
0
име-
ет геометрический смысл тан-
генса
α
– угла наклона каса-
тельной к решению в началь-
ной точке. Графическая иллю-
страция метода стрельбы при-
ведена на рис. 5.1.
Задача Коши для системы (5.16) может быть решена, на-
пример, методом Рунге–Кутты. Поскольку решение задачи Ко-
ши зависит от выбора
α
, можно записать: u = u(t,
α
). Требуется
подобрать значение
α
, обеспечивающее «попадание», т.е. вы-
полнение условия u(t,
α
) = u
1
. Понятно, что при произвольном
выборе
α
полученное решение может не удовлетворять краево-
му условию на правом конце отрезка t = b. Может быть получе-
но, что u(t,
α
1
)⏐
t = b
= B
1
>u
1
(«перелет») или u(t,
α
1
)⏐
t = b
= B
2
< u
1
(«недолет») (см. рис. 5.1). Задачу подбора нужного угла
α
мож-
но рассматривать как решение нелинейного алгебраического
уравнения u(t,
α
)⏐
t = b
= u
1
. Уравнение можно приближенно ре-
шить с помощью методов, изучаемых в главе 1 (методом дихо-
томии, хорд и т.д.). Особенностью решения является то, что в
этом случае функция F(x), определяющая нелинейное уравне-
ние, не задана явно, а только определен способ нахождения
u(t,
α
)⏐
t = b
.
5.3. Жесткие обыкновенные дифференциальные уравнения
До сих пор мы имели дело с ОДУ, которые надежно реша-
лись явными численными методами Рунге–Кутты. Однако име-
ется класс так называемых жестких систем ОДУ, для которых
явные методы практически не применимы, поскольку их реше-
ние требует исключительно малого значения шага численного
метода. Рассмотрим пример такой жесткой задачи.
x
u
a
b
u(t,
α
1
)
u
0
B
1
u(t,
α
2
)
u(t,
α
)
α
2
α
1
α
B
2
u
1
Рис. 5.1. Иллюстрация метода
стрельбы 
Чтобы свести исходную крае- B1 u
вую задачу к задаче Коши, не-                  α1       u(t,α1)
обходимо в точке t = a задать
дополнительное краевое усло- u1                  α u(t,α)
вие u′(a) = v0. Величина v0 име- u
                                    0
ет геометрический смысл тан-                                    u(t,α 2)
генса α – угла наклона каса-      B 2                 α 2

тельной к решению в началь-                                                x
                                         a                               b
ной точке. Графическая иллю-
                                      Рис. 5.1. Иллюстрация метода
страция метода стрельбы при-                      стрельбы
ведена на рис. 5.1.
     Задача Коши для системы (5.16) может быть решена, на-
пример, методом Рунге–Кутты. Поскольку решение задачи Ко-
ши зависит от выбора α, можно записать: u = u(t,α). Требуется
подобрать значение α, обеспечивающее «попадание», т.е. вы-
полнение условия u(t,α) = u1. Понятно, что при произвольном
выборе α полученное решение может не удовлетворять краево-
му условию на правом конце отрезка t = b. Может быть получе-
но, что u(t,α1)⏐t = b = B1>u1 («перелет») или u(t,α1)⏐t = b = B2 < u1
(«недолет») (см. рис. 5.1). Задачу подбора нужного угла α мож-
но рассматривать как решение нелинейного алгебраического
уравнения u(t,α)⏐t = b = u1. Уравнение можно приближенно ре-
шить с помощью методов, изучаемых в главе 1 (методом дихо-
томии, хорд и т.д.). Особенностью решения является то, что в
этом случае функция F(x), определяющая нелинейное уравне-
ние, не задана явно, а только определен способ нахождения
u(t,α)⏐t = b.

 5.3. Жесткие обыкновенные дифференциальные уравнения
    До сих пор мы имели дело с ОДУ, которые надежно реша-
лись явными численными методами Рунге–Кутты. Однако име-
ется класс так называемых жестких систем ОДУ, для которых
явные методы практически не применимы, поскольку их реше-
ние требует исключительно малого значения шага численного
метода. Рассмотрим пример такой жесткой задачи.

                                    66

Страницы