Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 66 стр.

    В приведенном выше примере коэффициенты уравнения
различаются на порядки, причем коэффициент при старшей
производной меньше остальных. Рассмотрим уравнение
              dy
                 = αy , α < 0, α >> 1, x ≥ 0, y (0) = y0 .  (5.20)
              dx
Его точное решение y = y0 eαx . Поскольку при α < 0 точное ре-
шение является убывающим, для численного решения должна
выполняться цепочка неравенств
                      yi +1 ≤ yi ≤ yi −1 ≤ ... ≤ y 0 ,
известных из теории разностных схем как принцип максимума.
Методы, решения которых удовлетворяют этим условиям, назы-
ваются А-устойчивыми методами.
    Запишем для уравнения (5.20) явный метод Эйлера и двух-
этапный метод Рунге–Кутты:
                 yi +1 = yi + hαyi = (1 + αh ) yi = λ1 yi ,
          yi +1 = yi + hα ( yi + αyi h 2 ) = (1 + αh + α 2 h 2 2)yi = λ2 yi .
    Используя эти формулы, можно выразить последовательно
каждое yi через предыдущее, тогда
                  y i + 1 = λ ik+ 1 y 0 , i = 0 , 1, 2 , ... , k = 1, 2 .
Для выполнения принципа максимума yi+1 ≤ λik+1 y0 необходимо
и достаточно, чтобы выполнялось условие 0 ≤ λk ≤ 1 . Отсюда
сразу следуют ограничения на шаги интегрирования для явных
методов. Например, для явного метода Эйлера h ≤ 1 α , для
двухэтапного метода Рунге–Кутты h ≤ 2 α .
    Рассмотрим теперь простейший неявный метод Эйлера для
решения уравнения (5.20):
                  yi +1 = yi + hαyi+1 = yi (1 − αh ) = λyi .
Можно видеть, что условие 0 ≤ λ ≤ 1 выполняется для любых α,
следовательно, имеет место принцип максимума, т.е. неявный
метод Эйлера не имеет ограничения по α на шаг интегрирова-
ния и является A-устойчивым.


                                     68