Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 65 стр.

Пример 5.1. Пусть задана задача Коши
y' = –100y + 100,                    y(0) = 2.                                  (5.19)
Точным решением (5.19) является функция y = 1+e–100x, имеющая
очень большой градиент вблизи точки x = 0. Действительно, y = 2
при x = 0 (в силу начальных данных), однако уже при малых поло-
жительных значениях x решение близко к своему асимптотическо-
му значению y = 1.
Получим численное решение этой задачи методом Эйлера (5.4) с шагом
h = 0.02. Расчетная формула метода Эйлера в этом случае имеет вид:
          yi +1 = (1 − 100h ) yi + 100h = 2 − yi , i = 0, 1,..., n − 1, y0 = 2 .
Решение будет представлять собой последовательность
 y (0 ) = y 0 = 2, y (0 .02 ) ≈ y1 = 0, y (0 .04 ) ≈ y 2 = 2, y (0 .06 ) ≈ y3 = 0, ...
Видно, что при h = 0.02 приближенное решение не соответствует
точному. При h = 0.01 первая же вычисленная точка y1 = 1 попадает
на асимптоту решения, и последующие вычисления не изменяют
значения приближенного решения. Существенно более мелкий шаг,
например h = 0.001, позволит получить вполне удовлетворительное
соответствие между приближенным и точным решением. Однако
вычисления с таким мелким шагом потребуют больших вычисли-
тельных затрат.
             y (0 ) = y0 = 2, y (0.001) ≈ y1 = 1.9, y (0.002 ) ≈ y2 = 1.81, ...
Воспользуемся неявным методом Эйлера для получения прибли-
женного решения исходной задачи Коши. Вычисления будут про-
водиться по формуле
                               100h + yi
                       yi +1 =            , i = 0, 1,..., n − 1, y0 = 2
                                1 + 100h
с шагом h = 0.1. Получим последовательность приближенных ре-
шений
 y(0) = y0 = 2, y(0.1) ≈ y1 = 1.091, y(0.2) ≈ y2 = 1.008, y(0.3) ≈ y3 = 1.0007, ...
                                            .
Даже при очень крупном шаге h = 0.99 приближенное решение, по-
лученное неявным методом Эйлера, будет качественно правильным.
                             y0 = 2, y1 = 1.01, y2 = 1.0001, ...
Данный пример показывает, что получить приближенное решение
данной задачи гораздо рациональнее с помощью неявного метода Эй-
лера.



                                       67