Методы проектирования цифровых фильтров. Белодедов М.В. - 10 стр.

казать, что задержка на N отсчетов приводит к умножению z-преобразования
на z - N .
     3) Z-преобразование свертки сигналов. Рассмотрим свертку дискретных
сигналов:
                                                                     ¥
                                               x Äy :             å xn ¢ yn - n ¢ ,
                                                                 n ¢ = -¥
которая является дистрибутивной операцией, то есть не изменяется при пере-
становке операндов:
  ¥                         ¥                          ¥                              ¥                           ¥
 å xn ¢ y n - n ¢ =        å xn - n ¢¢ yn ¢¢ =         å xn - n ¢¢ yn ¢¢ =           å xn - n ¢¢ yn ¢¢ =         å xn - n ¢ y n ¢ : y Ä x .
n ¢ = -¥                  n ¢ = -¥               n - n ¢¢ = -¥                     n ¢¢ = -¥                   n ¢ = -¥
           Вычислим z-преобразование свертки:
                       ¥         ¥                               ¥          ¥                                ¥                 ¥
Z [x Ä y ] =          å å xn ¢ y n - n ¢ z        -n
                                                        =     å å xn ¢ y n - n ¢ z                -n
                                                                                                       =    å         xn ¢    å yn - n ¢ z - n =
                     n = -¥ n ¢ = -¥                         n ¢ = -¥ n = -¥                               n ¢ = -¥          n = -¥
                 ¥                                       ¥
                                                                                                                                                   (1.8)
           =    å xn ¢ z      -n¢
                                     Y (z ) = Y (z )    å xn ¢ z         - n¢
                                                                                = Y ( z )X (z ) = Z [x ]Z [y ].
               n ¢ = -¥                             n ¢ = -¥
     Таким образом, z-преобразование свертки двух сигналов представляет
собой произведение z-преобразований сигналов, входящих в свертку.
     4) Связь z-преобразования со спектром сигнала.
     Спектр дискретного сигнала (1.2) легко может быть получен из его z-
преобразования:
                                        ¥                        ¥
                      X (w) =          å xn e- jwnD =          å xn z - n                       = X ( z ) z = e jwD ,                          (1.9)
                                      n = -¥                 n = -¥                z =e   jwD

то есть спектр сигнала представляет собой значения его z-преобразования,
взятые в точках z = e jwD , которые лежат на окружности единичного радиуса,
причем параметр wD является полярным углом точки на окружности. Сде-
ланный вывод в очередной раз свидетельствует, что спектр дискретного сиг-
нала обязан быть периодичным с периодом 2p D .
      На этом этапе рассуждений полезно вновь обратиться к примеру 2 и
рассмотреть его с новой точки зрения. При a < 1 единичная окружность ле-
жит в области сходимости z-преобразования и поэтому функция X ( z ) опре-
делена в каждой ее точке, то есть определен и спектр исходного сигнала. Ес-
ли же a > 1 , то единичная окружность лежит вне области сходимости и
спектр сигнала не определен, что легко понять, поскольку в этом случае сам
дискретный сигнал не является ограниченным.




                                                                            10