Методы проектирования цифровых фильтров. Белодедов М.В. - 8 стр.

преобразование сигнала x может быть определено не на всей комплексной z-
плоскости, та область плоскости, где оно определено, то есть ряд (1.5) схо-
дится, называется областью сходимости. Рассмотрим несколько примеров.
                                                                      ì1       при n = 0;
      Пример 1. Единичный сигнал e : en = í
                                                                      î0       при n ¹ 0.
                                                      ¥
                                Z [e ] = E (z ) =   åe z     n
                                                                 -n
                                                                      = z 0 = 1.
                                                    n = -¥
      Z-преобразование единичного сигнала тождественно равно единице, область схо-
димости – вся z-плоскость.
      Пример 2. Экспоненциально убывающий (или нарастающий) сигнал:
                                          ì0        при n < 0;
                                 x : xn = í n
                                          îa        при n ³ 0.
       Его z-преобразование вычислим как сумму геометрической прогрессии:
                                                                           ( )
                                   ¥          ¥            ¥
                                                                        1
               Z [x ] = X (z ) = å xn z -n = å a n z -n = å az -1 =
                                                                 n
                                                                              .
                                 n =-¥       n =0         n =0      1 - az -1
       Приведенные вычисления справедливы только в том случае, если знаменатель про-
грессии az -1 по абсолютному значению не превосходит единицы, в противном случае ряд
(1.5) расходится, то есть функция X ( z ) определена только для z, удовлетворяющих усло-
вию z > a . Таким образом, областью сходимости z-преобразования сигнала x является
часть комплексной z-плоскости, являющаяся внешней по отношению к окружности с цен-
тром в точке z = 0 и радиусом a .

      Пример 3. Гармонический сигнал
                                             ì0                при n < 0;
                                  x : xn = í
                                             î A sin (wnD )    при n ³ 0.
        Для вычисления z-преобразования представим синус в виде суммы экспонент:
sin (wnD ) = (e jwnD - e - jwnD ) 2 j :
                          ¥
                                         A æ ¥ jwnD -n ¥ - jwnD -n ö
     Z [x ] = X (z ) = å xn z -n =          çåe z - åe               z ÷=
                       n = -¥           2 j è n =0          n=0         ø

                   ç å (e z ) - å (e  z ) ÷=
                A æ ¥ jwD -1 n ¥ - jwD -1 n ö A æ       1             1        ö
           =                                      ç     jwD -1
                                                               -      - jwD -1 ÷
                                                                                 =
               2 j è n=0        n =0        ø 2 j è1 - e z       1- e      z ø
                         A       e jwD z -1 - e - jwD z -1                        sin (wD )
                    =                                            = Az -1                         .
                        2 j (1 - e jwD z -1 )(1 - e - jwD z -1 )         1 - 2 z cos(wD ) + z -2
                                                                                -1


      Область сходимости вычисленного z-преобразования – z > 1 .




                                                                 8