Методы проектирования цифровых фильтров. Белодедов М.В. - 7 стр.

         2 - 2 cos(w(N + 1)D ) - 2 cos(wD ) + 2 cos(wND )
       =                                                     -1 =
                          2 - 2 cos(wD )
                                          w(2 N + 1)D       wD        w(2 N + 1)D
                                      sin               sin       sin
  - cos(w(N + 1)D ) + cos(wND )                 2            2 =           2
=                                =2                                               .
           1 - cos(wD )                      2 sin 2 w D
                                                                      sin
                                                                          w D
                                                      2                    2
      Итак, спектр прямоугольного сигнала имеет вид:
                                    sin(w(N + 1 2)D )
                           X (w) =                       .                          (1.3)
                                        sin (wD 2 )
                                                           Форма модуля спектра (1.3)
                                                     при N = 10 показана на рис.1.
                                                     Значение спектра на частоте
                                                      w = 0 легко получить, вычисляя
                                                     соответствующий предел функ-
                                                     ции (3). Нетрудно заметить, что
                                                     вычисленный спектр обладает
                                                     как симметрией, так и перио-
                                                     дичностью.
                                                           Выражение (2) можно обра-
  Рис.1. Форма модуля спектра (3) при N = 10 .
                                                     тить, то есть выразить отсчеты
xn через спектр X (w) . Для этого домножим обе части равенства (2) на e jwnD
и проинтегрируем по периоду [- p D ... p D] :
pD                          pD      ¥                                         ¥           pD
                                                                                                                         2p
 ò X (w)e                    ò nå                                            å                   jw (n ¢ - n )D
                                                                                           òe
            jwn ¢D                             - jwnD       jwn ¢D
                     dw =           xn e                e            dw =            xn                           dw =      xn ¢ .
-p D                        -p D= -¥                                        n = -¥        -p D
                                                                                                                         D
       При выводе последнего выражения использован тот общеизвестный
                               pD
                                      jw( n ¢ - n )D                      2p
факт, что интеграл               òe                    dw равен
                                                                          D
                                                                             , если n = n¢ , и нулю в противном
                              -p D
случае. Окончательно отсчеты дискретного сигнала выражаются через его
спектр следующим образом:
                                                        pD
                                           D
                                      xn =      ò X (w) e jwnD dw .                                                                  (1.4)
                                           2p - p D
     Приблизительно столь же важное значение, как спектр (или преобразо-
вание Фурье) для непрерывных сигналов, для дискретных сигналов имеет так
называемое z-преобразование. Оно определяется следующим образом:
                                                                      ¥
                                      Z [x ] = X (z ) =              å xn z - n ,                                                    (1.5)
                                                                 n = -¥
то есть дискретному сигналу x ставится в соответствие комплексная функция
 X ( z ) комплексного аргумента z, представляющая собой степенной ряд
[Г.Е.Шилов. Математический анализ (функции одного переменного). – М.: Наука, 1969,
с.238], коэффициентами которого являются отсчеты сигнала x. Z-
                                                                     7