Методы проектирования цифровых фильтров. Белодедов М.В. - 9 стр.

       Пример 4. Рассмотрим абстрактный гармонический сигнал
                             x : xn = e jw0 nD ,
который назван абстрактным, во-первых, потому, что, в отличие от предыдущих приме-
ров, он не начинается в момент времени 0, а длится «всегда», от n = -¥ до n = ¥ , и, во-
вторых, принимает комплексные значения, что на практике реализовано быть не может.
Такие сигналы, тем не менее, играют большую роль в математическом анализе дискрет-
ных систем, поскольку все реальные сигналы можно представить в виде линейной комби-
нации рассматриваемых сигналов. Так, например,
                                                            (
                          sin (w0 nD ) = e jw0nD - e - jw0nD 2 j ,                                            )
                                           +e   cos(w nD ) = (e  0
                                                                                   jw0nD              - jw0nD
                                                                                                               ) 2 , и т.д.
       Итак, найдем z-преобразование абстрактного гармонического сигнала:
                     ¥                            0                               ¥
        Z [x ] =   åe         jw0 nD
                                       z -n =   åe           jw0 nD
                                                                      z -n + å e jw0nD z -n - 1 =
                   n = -¥                       n = -¥                            n=0


                                                                                                  (             )              (       )
                          ¥                            ¥                                      ¥                          ¥
                    = å e - jw0nD z n + å e jw0nD z -n - 1 = å e - jw0D z + å e jw0D z -1
                                                                                                                    n                  n
                                                                                                                                           -1 =
                         n =0                         n= 0                                 n=0                          n =0

                                1                1
                                   =
                                 - jw0 D
                                          +                - 1.
                            1- e         z 1 - e jw0D z -1
      Анализируя последнее выражение, нетрудно убедиться, что оно равно нулю прак-
тически везде:
                   1                  1              1 - e j w 0 D z -1 + 1 - e - j w 0 D z
                            +                - 1 =                                          -1 =
             1 - e - jw0 D z 1 - e jw0D z -1                                      (
                                                    1 - e - jw0 D z 1 - e jw0D z -1                      )(                        )
                                                                     jw0 D   -1         - jw0 D
                             2-e        z -e         z
                                   jw0 D -1
                                                =
                                             - jw0 D
                                                       -1 = 0,
                             2-e        z -e         z
за исключением точки z = e jw0D , где оно обращается в бесконечность. Этот факт дает ос-
нование объявить искомое z-преобразование d-функцией:
                                                 [
                        Z x : xn = e jw0nD = d z - e jw0D .                        ]
                                                                                  (1.6)       (                 )
       Вообще говоря, это не совсем правильно, поскольку полученную d-функцию мож-
но без каких-либо последствий умножить на любую константу. Поиск точного значения
этой константы представляет собой достаточно сложную математическую задачу, поэтому
в дальнейшем будем использовать выражение (1.6) либо в представленном виде, либо с
                                                             [
неопределенной константой: Z x : xn = e jw0nD = C d z - e jw0D .                          ]               (              )
       Рассмотрим основные свойства z-преобразования.
     1) Как это следует непосредственно из определения и уже было ис-
пользовано в примере 3, z-преобразование линейно, то есть
             Z [ax + by ] = Z [ax ] + Z [by ] = aZ [x ] + bZ [y ] .
      2) Z-преобразование задержанного сигнала. Пусть сигнал y представля-
ет собой задержанный на один отсчет сигнал x, то есть yn = xn -1 . Тогда
                            ¥                          ¥                                                        ¥
Z [y ] = Y ( z ) =        å yn z - n =                å xn -1 z -1 z - (n -1) =z -1                           å xn z - n =z -1 X (z ) = z -1Z [x ],   (1.7)
                         n = -¥                   n = -¥                                                   n = -¥
то есть z-преобразование задержанного на один отсчет сигнала получается из
z-преобразования исходного сигнала путем умножения его на z -1 . Легко по-


                                                                                          9