Методы проектирования цифровых фильтров. Белодедов М.В. - 6 стр.

ли от интервала дискретизации по времени. При неизменном интервале дис-
кретизации этот множитель можно опустить. Будем, таким образом, называть
спектром дискретного сигнала x величину:
                                                             ¥
                                          X (w) =         å xn e - jwnD .                                                       (1.2)
                                                         n = -¥
      Если отсчеты сигнала являются чисто действительными (а в большин-
стве случаев это действительно так), спектр является симметричной функци-
ей:
                                                                                                                      *

                                           (      æ ¥
                                                             )     ö
                                                                              (               )
             ¥                        ¥                              ¥
                                               - jwnD *                           - jwnD *
X (- w) = å xn e   = å xn e
                     jwnD
                                    = å xn e   = çç å xn e - jwnD ÷÷ = X * (w) ,
         n = -¥      n = -¥          n = -¥       è n = -¥         ø
где символом * обозначена операция комплексного сопряжения.
      Введенный таким образом спектр дискретного сигнала обладает таким
неожиданным свойством, как периодичность. Действительно, вычислим зна-
чение спектра на частоте w + 2p D :
                     ¥                                           ¥                                      ¥
X (w + 2p D ) =     å xn e      - j (w + 2 p D )nD
                                                     =       å xn e       - jwnD - j 2 pn
                                                                                  e               =    å xn e - jwnD = X (w).
                   n = -¥                                 n = -¥                                      n = -¥
      Как известно, спектры непрерывных сигналов не обладают периодич-
ностью. Выявленная периодичность спектра присуща именно дискретным
сигналам и обусловлена, вообще говоря, тем фактом, что само понятие час-
тота определена для дискретного сигнала неоднозначно. Так, например, гар-
монический сигнал с частотой w + 2p D совпадает с гармоническим сигна-
лом с частотой w:
A sin((w + 2p D ) nD ) = A sin (wnD + 2pnD D ) = A sin(wnD + 2pn ) = A sin (wnD ) .
      Если непрерывный сигнал имеет верхнюю граничную частоту wВ , то
есть сосредоточен в полосе частот [- w В ... + w В ] , то при его дискретизации с
интервалом дискретизации D периодические повторы его спектра не будут
накладываться друг на друга при выполнении условия D £ p wВ = 1 (2 f В ) .
Сформулированное условие называется условием Котельникова (хотя за ру-
бежом его чаще связывают с именем Найквиста) и обычно определяет часто-
ту дискретизации непрерывных сигналов.
      Вычислим спектр часто встречающегося прямоугольного сигнала
                                ì1 при - N £ n £ N
                          xn = í                      .
                                î0  при  n > N
             N                    0                      N                            N                      N
  X (w) =   å e - jwnD =        å e - jwnD + å e - jwnD - 1 = å e jwnD + å e - jwnD - 1 =
            n=-N                n=-N                 n =0                         n=0                       n =0
                   jw( N +1)D              - jw( N +1)D
            1- e               1- e
        =                   +                   -1 =
             1 - e jwD           1 - e - jwD
                 1 - e jw( N +1)D - e - jwD + e jwND + 1 - e - jw( N +1)D - e jwD + e - jwND
              =                                                                              -1 =
                                           1- e  jwD
                                                     (
                                                     1- e  - jwD
                                                                         )(               )
                                                                     6