Методы проектирования цифровых фильтров. Белодедов М.В. - 12 стр.

      2. Цифровые фильтры.

     Начнем теперь рассмотрение систем, выполняющих обработку дис-
кретных сигналов. По аналогии с непрерывными системами их логично на-
зывать фильтрами. В настоящее время такие системы принято называть циф-
ровыми фильтрами (digital filters). Обработка сигнала в самом общем случае
может быть выражена как некоторый алгоритм, или закон, позволяющий по
заданному входному сигналу x получить выходной сигнал y. Этот алгоритм
удобно выразить соотношением:
                              y = L̂[x ] ,
где через L̂ обозначен оператор, отображающий пространство дискретных
сигналов само на себя и присущий данному конкретному цифровому фильт-
ру.
      Будем рассматривать далее линейные фильтры, то есть фильтры, реак-
ция которых (выходной сигнал) на сумму двух входных может быть пред-
ставлена как сумма его реакций на отдельные составляющие входного сигна-
ла:
            Lˆ [ax1 + bx 2 ] = Lˆ [ax 1 ] + Lˆ [bx 2 ] = aLˆ [x1 ] + bLˆ [x 2 ] .
      Кроме того, выделим в отдельную группу фильтры, реакция которых
на сдвинутый по времени сигнал представляет собой сдвинутую по времени
на такую же величину реакцию фильтра на несдвинутый сигнал:
                         Если ~    xn = xn- N и Lˆ [x ] = y,
                         то Lˆ [x~ ] = y~ : y .
                                         n- N
      Такие фильтры будем называть инвариантными. Для дискретных сиг-
налов, отсчеты которых относятся к разным моментам времени, требование
инвариантности является естественным и не требующим специального по-
стулирования. Это связано с тем фактом, что время, как правило, не имеет
выделенной точки отсчета. Существуют, однако, такие дискретные системы,
в которых требование инвариантности далеко не так естественно. Такие сис-
темы встречаются, например, в случае, если отсчеты дискретного сигнала от-
носятся не к различным моментам времени, а к различным точкам простран-
ства.
      Далее мы будем рассматривать линейные инвариантные фильтры.
Именно для таких фильтров удается получить ряд достаточно интересных
выводов, оказывающихся весьма полезными при анализе и синтезе дискрет-
ных систем.
      Рассмотрим воздействие на линейный инвариантный фильтр единично-
го сигнала e. Обозначим выходной сигнал фильтра при таком воздействии
как h и будем называть его импульсной характеристикой:
                              L̂[e ] = h .
      Для линейных инвариантных фильтров импульсная характеристика
полностью характеризует фильтр. Чтобы показать это, представим произ-
вольный входной сигнал как его свертку с самим собой:
                                       12