Методы проектирования цифровых фильтров. Белодедов М.В. - 14 стр.

и он также является гармоническим сигналом, причем отношение амплитуд
выходного и входного сигнала определяется значением передаточной харак-
теристики фильтра в точке единичной окружности, соответствующей частоте
входного сигнала. Итак, частотная характеристика линейного инвариантного
цифрового фильтра равна значению передаточной характеристики фильтра в
соответствующей точке:
                          H (w) = H ( z ) z = e jwD .
      Определенная таким образом частотная характеристика совпадает со
спектром импульсной характеристики, как это и имеет место в случае непре-
рывных систем:
                                           ¥                                   ¥
          H (w) = H ( z ) z = e jw0D =    å hn z - n                     =    å hn e - jw nD .
                                                                                         0

                                         n = -¥            z = e jw0 D       n = -¥
     Рассмотрим в качестве примера цифровой фильтр, осуществляющий
численное дифференцирование входного сигнала и работающий по следую-
щему алгоритму: yn = ( xn - xn -1 ) D . Для вычисления передаточной характе-
ристики фильтра выполним z-преобразование последнего равенства:
                                                             1 - z -1
                           (                           )
               Y ( z ) = X ( z ) - z -1 X ( z ) D = X (z )
                                                                 D
                                                                      ,
откуда:
                                      Y (z ) 1 - z -1
                           H (z ) =            =          .
                                      X (z )        D
     Зная передаточную характеристику, найдем частотную характеристику:
                                                   1 - e - jwD
                       H (w) = H ( z ) z = e jwD =             ,
                                                       D
используя которую, можно по формуле (1.4) вычислить отсчеты импульсной
характеристики:
                     pD                         pD
               D                D        1 - e - jwD     1
          h0 =      ò H (w)dw =      ò               dw = ;
               2p - p D         2p - p D     D           D
                    pD                                pD
               D                  D       e jwD - 1       1
          h1 =      ò H (w)e dw =
                            jwD
                                       ò            dw = - ;
               2p - p D           2p - p D D              D                                  .
                     pD                                    pD
               D                         D         e 2 jwD - e jwD
                       H (w)e
               2p - pò D                 2p - pò D
                              2 jwD
          h2 =                      dw =                           dw = 0;
                                                          D
          h3 = 0;   h4 = 0;    ...
     Таким образом, только два отсчета импульсной характеристики рас-
сматриваемого фильтра отличны от нуля. Этот же результат можно было по-
лучить, проанализировав реакцию фильтра на единичный сигнал:
                                         hn =
                                                  (en - en-1 ) ;
                                                       D


                                                       14