ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
16
где контур интегрирования лежит в области сходимости и охватывает точку
0=z
.
На практике применение формулы (2.4) приводит к громоздким вы-
кладкам. Как правило, вычислить обратное z-преобразование обычно удается
более простыми способами.
Пример 6. Вычислим реакцию цифрового фильтра с каузальной импульсной ха-
рактеристикой
(
)
Dw= nah
n
n 0
sin на гармонический сигнал
n
n
bx = , начинающийся в мо-
мент времени 0.
Поскольку импульсную характеристику можно представить в виде:
( ) ( )
n
j
n
j
njnj
n
n
ae
j
ae
jj
ee
ah
Dw-Dw
Dw-Dw
-=
-
=
00
00
2
1
2
1
2
,
легко найти передаточную характеристику фильтра:
( )
ú
û
ù
ê
ë
é
-
-
-
=
-Dw--Dw 11
00
1
1
1
1
2
1
zaezaej
z
jj
H .
Зная передаточную характеристику и z-преобразование входного сигнала:
( )
1
1
1
-
-
=
bz
zX ,
найдем z-преобразование выходного сигнала фильтра:
( ) ( ) ( )
.
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1111
111
00
00
ú
û
ù
ê
ë
é
-
-
-
-
-
=
=
-
ú
û
ù
ê
ë
é
-
-
-
==
--Dw---Dw
--
Dw-
-
Dw
bz
zae
bz
zae
j
bzzaezaej
zzz
jj
jj
XHY
Пользуясь стандартной методикой, представим произведение дробей в виде их
суммы:
( )
.
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
11
11
000
0
000
0
ú
û
ù
--
+
--
-
-
ê
ë
é
--
-
--
=
-
Dw-
-
Dw-Dw-
Dw-
-
Dw
-
DwDw
Dw
bzbae
b
zaebae
ae
bzbae
b
zaebae
ae
j
z
jjj
j
jjj
j
Y
Каждое слагаемое в полученном выражении представляет собой z-преобразование
показательной последовательности из примера 5, поэтому выполнить обратное z-
преобразование очень легко:
=
ú
û
ù
-
+
-
-
ê
ë
é
-
-
-
=
Dw-
Dw-
Dw-
Dw-
Dw
Dw
Dw
Dw
n
j
nj
n
j
j
n
j
nj
n
j
j
n
b
bae
b
ea
bae
ae
b
bae
b
ea
bae
ae
j
y
0
0
0
0
0
0
0
0
2
1
( ) ( )
( )
( )
( )( )
( )
.
cos2
1sinsin
11
2
1
2
0
2
0
111
0
1
11
1
000
0
0
0
baba
nbabaa
baebae
b
bae
e
bae
e
a
j
nnn
jj
n
j
nj
j
nj
n
+Dw-
D+w-+Dw
=
=
ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
-
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-
-
=
+++
DwDw-
+
Dw-
D+w-
Dw
D+w
+
Полученное выражение справедливо только при 0
³
n . При 0
<
n , как это следует
из примера 5, отсчеты выходного сигнала должны иметь нулевое значение.
Таким образом, путем не очень сложных выкладок нам удалось получить точный
вид выходного сигнала рассматриваемого фильтра. Интересно отметить, что, несмотря на
обилие комплекснозначных промежуточных результатов, выходной сигнал оказывается
чисто действительным, каким он, собственно, и должен быть при действительном вход-
ном сигнале и действительной импульсной характеристике.
где контур интегрирования лежит в области сходимости и охватывает точку
z =0.
На практике применение формулы (2.4) приводит к громоздким вы-
кладкам. Как правило, вычислить обратное z-преобразование обычно удается
более простыми способами.
Пример 6. Вычислим реакцию цифрового фильтра с каузальной импульсной ха-
рактеристикой hn = a n sin (w0 nD ) на гармонический сигнал xn = b n , начинающийся в мо-
мент времени 0.
Поскольку импульсную характеристику можно представить в виде:
e jw0 nD - e - jw 0 nD
hn = a n
2j
=
1
2j
( ) n
ae jw 0 D -
1
2j
( ) n
ae - jw 0 D ,
легко найти передаточную характеристику фильтра:
1 é 1 1 ù
H (z ) = ê jw0 D -1
- - jw0 D -1 ú
.
2 j ë1 - ae z 1 - ae z û
Зная передаточную характеристику и z-преобразование входного сигнала:
1
X (z ) = ,
1 - bz -1
найдем z-преобразование выходного сигнала фильтра:
1 é 1 1 ù 1
Y (z ) = H (z )X (z ) = ê jw0 D -1
- - jw0 D -1 ú
=
2 j ë1 - ae z 1 - ae z û 1 - bz -1
1 é 1 1 1 1 ù
=
ê - .
jw0 D -1
2 j ë1 - ae z 1 - bz -1
1 - ae z 1 - bz -1 úû
- jw0 D -1
Пользуясь стандартной методикой, представим произведение дробей в виде их
суммы:
1 é ae jw0D 1 b 1
Y (z ) = ê jw0 D jw0 D -1
- jw0D -
2 j ë ae - b 1 - ae z ae - b 1 - bz -1
ae - jw0D 1 b 1 ù
- + - jw0D .
ae - jw0 D
- b 1 - ae - jw0 D -1
z ae - b 1 - bz -1 úû
Каждое слагаемое в полученном выражении представляет собой z-преобразование
показательной последовательности из примера 5, поэтому выполнить обратное z-
преобразование очень легко:
1 é ae jw0 D n jw0 nD b ae - jw0 D b ù
yn = ê jw0 D
a e - jw0 D
b n
- - jw0 D
a n e - jw0 nD + - jw0 D bn ú =
2 j ë ae -b ae -b ae -b ae -b û
1 é n +1 æ e j w 0 ( n + 1 ) D e - jw 0 (n +1)D ö n +1 æ 1 1 öù
= ê a ç
ç jw0 D
- - jw0 D
÷÷ + b ç - jw0 D - jw 0 D ÷ú =
2jë è ae - b ae -bø è ae - b ae - b øû
a sin (w0 D )(a n +1 + b n +1 ) - a n +1b sin (w0 (n + 1)D )
= .
a 2 - 2ab cos(w0 D ) + b 2
Полученное выражение справедливо только при n ³ 0 . При n < 0 , как это следует
из примера 5, отсчеты выходного сигнала должны иметь нулевое значение.
Таким образом, путем не очень сложных выкладок нам удалось получить точный
вид выходного сигнала рассматриваемого фильтра. Интересно отметить, что, несмотря на
обилие комплекснозначных промежуточных результатов, выходной сигнал оказывается
чисто действительным, каким он, собственно, и должен быть при действительном вход-
ном сигнале и действительной импульсной характеристике.
16
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- …
- следующая ›
- последняя »
