Методы проектирования цифровых фильтров. Белодедов М.В. - 15 стр.

           (e0 - e-1 )       1       (e - e ) 1     (e - e )
    h0 =                 =     ; h1 = 1 0 = - ; h2 = 2 1 = 0; h3 = 0; h4 = 0; ...
               D             D          D     D        D
     Рассмотрим теперь каузальный линейный инвариантный цифровой
фильтр. Для него передаточная характеристика запишется несколько более
простым образом:
                                                     ¥            ¥
                              H ( z ) = Z [h ] =    å hn z - n = å hn z - n .        (2.3)
                                                   n = -¥        n =0
      Поскольку выражение (2.3) является степенным рядом [Г.Е.Шилов. Ма-
тематический анализ (функции одного переменного). – М.: Наука, 1969, с.239], сущест-
вует некий радиус его сходимости R, при этом ряд (2.3) сходится во всех точ-
ках z-плоскости, для которых z > R , и расходится во всех точках с z < R .
Можно, поэтому, утверждать, что, если передаточная характеристика не оп-
ределена в какой-либо точке z = p , она не определена также во всех точках
 z< p.
      Пример 5. Пусть цифровой фильтр имеет импульсную характеристику
                                 ìa n      при n ³ 0;
                            hn = í
                                 î0        при n < 0.
      Передаточная характеристика такого фильтра имеет вид (см. пример 2):
                                             1
                                H (z ) =           .
                                         1 - az -1
      Последнее выражение не определено в точке z = a . Из этого следует, что переда-
точная характеристика не определена также во всех точках z < a , как это уже отмечалось
в примере 2. При воздействии на фильтр произвольным сигналом x z-преобразование вы-
ходного сигнала Y (z ) также не будет определено в точках z < a . Если a > 1 , то Y (z ) не
будет определено и на единичной окружности, следовательно, выходной сигнал не будет
иметь спектра и не будет ограниченным.
      Будем называть устойчивыми цифровыми фильтрами такие фильтры,
выходной сигнал которых при ограниченном входном сигнале также являет-
ся ограниченным. Поскольку при перемножении двух z-преобразований об-
ласть сходимости может только уменьшаться, нетрудно показать, что необ-
ходимым и достаточным условием устойчивости является требование R < 1 ,
где R – радиус сходимости передаточной характеристики цифрового фильт-
ра.
      Рассмотренный в примере 5 цифровой фильтр является устойчивым
при a < 1 и неустойчивым в противном случае.
      Напомним, что полученные результаты касаются только каузальных
цифровых фильтров и применение их к некаузальным фильтрам требует ос-
мотрительности.
      Как для преобразования Фурье существует обратное преобразование,
так его имеет и z-преобразование:
                          xn = ò X ( z ) z n -1dz ,               (2.4)



                                                            15