Методы проектирования цифровых фильтров. Белодедов М.В. - 13 стр.

                                          ¥                       ¥
                     x = x Ä e : xn =    å en ¢ xn - n ¢ = å en - n ¢ xn ¢ .
                                        n ¢ = -¥                n ¢ = -¥
     В последнем выражении величины xn ¢ являются просто числами (не
сигналами), поэтому воздействие линейного инвариантного цифрового
фильтра на входной сигнал может быть записано следующим образом:
                                                         ¥
                             Lˆ [x ] = y : yn =         å hn-n¢ xn¢ ,
                                                       n¢= -¥
то есть выходной сигнал линейного инвариантного фильтра может быть вы-
ражен как свертка входного сигнала и импульсной характеристики:
                                     y = L̂[x ] = x Ä h .                         (2.1)
      Реальные цифровые фильтры, обрабатывающие временные дискретные
сигналы, должны отвечать принципу причинности, запрещающему выходно-
му сигналу принимать отличные от нуля значения до прихода первого нену-
левого отсчета входного сигнала. Такие фильтры будем называть каузальны-
ми фильтрами, их импульсная характеристика должна подчиняться требова-
нию:
                                     hn = 0 при n < 0 .                           (2.2)
      Отметим, что требование каузальности, столь естественное для вре-
менных фильтров, совершенно не имеет место, например, при рассмотрении
дискретных сигналов, описывающих пространственные распределения ка-
кой-либо величины.
      Воспользуемся теперь одним из рассмотренных свойств z-
преобразования и выполним z-преобразование обеих частей равенства (2.1):
                 Z [y ] = Y ( z ) = Z [x Ä h ] = Z [x ]Z [h ] = X ( z ) H ( z ) .
      Таким образом, z-преобразование выходного сигнала фильтра может
быть получено из z-преобразования входного сигнала путем домножения его
на функцию H ( z ) , которая носит название передаточная характеристика
цифрового фильтра. По определению, передаточная характеристика равна z-
преобразованию импульсной характеристики. Подчеркнем, что передаточной
характеристикой обладают только линейные инвариантные фильтры.
      При рассмотрении непрерывных сигналов и непрерывных фильтров
важную роль играет частотная характеристика, определяемая как отноше-
ние амплитуд входного и выходного сигналов фильтра при воздействии на
него гармоническим сигналом определенной частоты. Определим подобным
же образом частотную характеристику цифрового фильтра. Подадим на вход
линейного инвариантного фильтра абстрактный гармонический сигнал
xn = Ae jw0 nD . Выходной сигнал фильтра легко вычислить:
                     (        )
       X ( z ) = Ad z - e jw0 D ;
                                    (              )                  (    )(    )
      Y (z ) = X (z ) H ( z ) = A d z - e jw0 D H ( z ) = AH e jw0 D d z - e jw0 D ;
                 (       )
       yn = AH e jw0 D e jw0 nD ,


                                                       13