Методы проектирования цифровых фильтров. Белодедов М.В. - 19 стр.

     Выходной сигнал фильтра, конечно, также будет определяться линей-
ной комбинацией этих же сигналов:
                                                       K
                                             yn = å a0, m qn(m ) + b0 xn .                               (3.1а)
                                                    m =1
     В n-ный момент времени состояние фильтра полностью определяется
набором параметров qn(1) , ..., qn(K ) , то есть вектором в K-мерном пространстве.
По этой причине разбираемый метод анализа цифровых фильтров с сосредо-
точенными параметрами обычно называется методом пространства со-
стояний.
     Выполним z-преобразование выражений (3.1) и (3.1а):
                                 K
                Q (k ) ( z ) = å ak , m z -1Q (m ) (z ) + bk z -1 X ( z ), k = 1,..., N ;                (3.2)
                               m =1
                           K
                Y (z ) = å a0, mQ (m ) ( z ) + b0 X ( z ).                                               (3.2а)
                          m =1
          Полученное выражение (3.2) можно рассматривать как систему линей-
ных уравнений относительно неизвестных Q (k ) ( z ) :
  (              )
 ì a1,1 z -1 - 1 Q (1) + a1, 2 z -1Q (2 ) + a1,3 z -1Q (3) + ... + a1, K z -1Q ( K ) = -b1z -1 X
 ï         -1 (1)
                     (     -1        (2 )
                                         )         -1 ( 3)
 ïa2,1 z Q + a2,2 z - 1 Q + a2,3 z Q + ... + a2, K z Q
                                                                           -1 ( K )
                                                                                      = -b2 z -1 X
 ï         -1 (1)         -1 ( 2 )
                                              (
                                              -1       (3 )
 í a3,1 z Q + a3, 2 z Q + a3,3 z - 1 Q + ... + a3, K z Q         )         -1 ( K )
                                                                                      = -b3 z -1 X . (3.3)
 ï ...          ...    ...       ...      ...      ...      ...   ...       ...      ...     ...
 ï          -1 (1)         - 1 (2 )            -1 ( 3)                -1
 ïî a K ,1z Q + a K ,2 z Q + aK ,3 z Q + ... + a K , K z - 1 Q = -bK z 1 X  (   (K )
                                                                                            ) -


     Определитель системы (3.3) является полиномом степени не меньше K
                          ( )
аргумента z -1 : P0 z -1 , а ее общее решение имеет вид:
                                 (k )
                                        (z ) =
                                                    ( )
                                                  Pk z -1
                                                                 X ( z ), k = 1, ..., K ,
                           Q                                                                             (3.4)
                                                  P (z )
                                                   0
                                                           -1


        ( )
где Pk z – также полином аргумента z -1 степени не меньше K. Полученное
           -1

решение (3.4) позволяет выписать парциальные передаточные характери-
стики фильтра:

                   H (z ) =
                     (k )      Q (k ) (z ) Pk z
                                          =
                                                 -1
                                                    , k = 1, ..., K ,
                                                                     ( )
                                                                                     (3.5)
                                X (z )      P0 z -1
                                                                     ( )
и найти z-преобразование выходного сигнала фильтра (используя соотноше-
ние (3.2а)):
               K
                          (m )
                                              K
     Y (z ) = å a0, mQ ( z ) + b0 X ( z ) = å a0, m
                                                     Pk z -1        ( )
                                                               X ( z ) + b0 X (z ) =
              m =1                           m =1    P0 z -1       ( )
                    X (z ) æ K                                                   P (z )             -1
                                                   P (z ) + b P (z )÷÷ = X ( z )
                                                                     ö
                           ç å a0, m                        -1              -1                  Y
                 =                                                                      ,
                   P0 z  ( )
                        -1 ç
                           è m =1
                                                       k
                                                                     ø
                                                                      0 0
                                                                                 P (z )         0
                                                                                                    -1



                                                                     19