Методы проектирования цифровых фильтров. Белодедов М.В. - 20 стр.

                                         ( )
где степень полинома PY z -1 , опять-таки, не превосходит K.
      Полученный результат позволяет сформулировать важное заключение:
Передаточная характеристика цифрового фильтра с сосредоточенными пара-
метрами представляет собой отношение двух полиномов (вообще говоря,
разных степеней) аргумента z -1 :

                      H (z ) =
                               Y ( z ) PY z -1
                                      =        ,
                                                                     ( )
                                                                 (3.6)
                               X ( z ) P z -1
                                                                0   ( )
то есть является дробно-рациональной функцией аргумента z -1 .
       Каждый из полиномов, входящих в выражение (3.6), имеет собствен-
ный набор корней и соответствующий ему набор коэффициентов:
       H (z ) = C
                           (            )(              ) (
                         z -1 - z1-1 z -1 - z 2-1 ... z -1 - z N-1
                                                                   =
                                                                         )
                       (               )(              ) (
                       z -1 - p1-1 z -1 - p2-1 ... z -1 - pM-1           )                  (3.7)
                                           -1        -2                -( N -1)        -N
                                a + a1 z + a 2 z + ... + a N -1 z               + aN z
                            = 0           -1      -2                -( M -1)
                                                                                          ,
                                  1 + b1 z + b 2 z + ... + b N -1 z           + b M z -M
причем следует отметить, что, если коэффициенты умножителей, входящих в
состав фильтра с сосредоточенными параметрами, являются чисто действи-
тельными, то также чисто действительными являются коэффициенты обоих
полиномов, и, следовательно, их корни либо чисто действительны, либо об-
разуют комплексно сопряженные пары.
       Легко заметить, что при равенстве аргумента z одному из корней чис-
лителя передаточной характеристики (3.7) z = zk сама характеристика при-
нимает нулевое значение. По этой причине величины zk принято называть
нулями передаточной характеристики. Аналогично, при равенстве аргумента
z одному из корней знаменателя характеристики z = pk нулевое значение
принимает знаменатель, а сама передаточная характеристика обращается в
бесконечность. Величины pk поэтому называются полюсами передаточной
характеристики фильтра. Коэффициенты передаточной характеристики (3.7)
легко выразить через ее нули и полюсы, используя симметрические полино-
мы [Г.Корн, Т.Корн. Справочник по математике. – М.: Наука, 1968, с.38]. Так, напри-
мер, для K = 5 эти коэффициенты выражаются следующим образом:
a 0 = - z1-1 z2-1 z3-1 z4-1 z5-1 ;
a1 = z2-1 z3-1 z4-1 z5-1 + z1-1 z3-1 z4-1 z5-1 + z1-1 z2-1 z4-1 z5-1 + z1-1 z2-1 z3-1 z5-1 + z1-1 z2-1 z3-1 z4-1 ;
a 2 = - z3-1 z4-1 z5-1 - z2-1 z4-1 z5-1 - z2-1 z3-1 z5-1 - z2-1 z3-1 z4-1 - z1-1 z4-1 z5-1 -
                               - z1-1 z3-1 z5-1 - z1-1 z3-1 z4-1 - z1-1 z2-1 z5-1 - z1-1 z2-1 z4-1 - z1-1 z2-1 z3-1 ;
a 3 = z4-1 z5-1 + z3-1 z5-1 + z3-1 z4-1 + z2-1 z5-1 + z2-1 z4-1 +
                               + z2-1 z3-1 + z1-1 z5-1 + z1-1 z4-1 + z1-1 z3-1 + z1-1 z2-1 ;
a 4 = - z1-1 - z2-1 - z3-1 - z4-1 - z5-1 .

                                                              20