Методы проектирования цифровых фильтров. Белодедов М.В. - 22 стр.

      Большое число приложений фильтрации сигналов использует так назы-
ваемые фильтры с линейной фазово-частотной характеристикой (ЛФЧХ). Та-
кие фильтры обладают частотной характеристикой вида:
                                   H (w) = A(w)e jaw ,                              (3.8)
где действительная функция A(w) является амплитудно-частотной характе-
ристикой, постоянная a также действительна. Исследуем вопрос о возможно-
сти построения ЛФЧХ-фильтров с сосредоточенными параметрами. Для это-
го запишем частотную характеристику фильтра с сосредоточенными пара-
метрами:
       a + a1e - jwD + a 2 e -2 jwD + ... + a N -1e - j ( N -1)wD + a N e - jN wD
H (w) = 0                                                                         =
        1 + b1e - jwD + b 2 e -2 jwD + ... + b N -1e - j ( M -1)wD + b M e - jMwD

=
               (
    e - jN wD 2 a 0 e jN wD 2 + a1e j ( N   2 -1)wD
                                                      + a 2e j (N   2 -2 )wD
                                                                               + a N -1e - j ( N   2-1)wD
                                                                                                            + a N e - jN wD   2
                                                                                                                                  ).
              (b e
  e - jMwD 2 0 jM wD 2 + b1e j (M 2-1)wD + b 2 e j (M 2-2 )wD + b M -1e - j (M 2-1)wD + b M e - jMwD 2                            )
       Из сравнения последнего выражения с (3.8) легко получается условие
линейности фазово-частотной характеристики:
                  a0 = a*N ; a1 = a*N -1 ; a2 = a*N - 2 ; ... ;
                    b 0 = b*M ; b1 = b*M -1 ; b 2 = b*M - 2 ; ... ,
то есть наборы коэффициентов полиномов как числителя, так и знаменателя
передаточной характеристики (3.7) симметричны. Полином же с симметрич-
ными коэффициентами обладает одной характерной особенностью:
   P (z -1 ) = a0 + a1 z -1 + a 2 z -2 + ... + a 2 z - ( N -2 ) + a1 z - ( N -1) + a0 z - N =
          = z - N (a0 z N + a1 z N -1 + a 2 z N -2 + ... + a2 z 2 + a1 z + a0 ) = z - N P (z ).
       Эта особенность распространяется и на всю передаточную характери-
стику (3.7): H (z -1 ) = z - N + M H (z ) . Следовательно, если передаточная характе-
ристика фильтра имеет нуль в точке z, она должна иметь его и в точке z -1 .
Аналогично, если передаточная характеристика фильтра имеет полюс в точке
z, она должна иметь его и в точке z -1 , то есть она обязательно будет иметь
полюс, лежащий вне единичной окружности, а поэтому цифровой фильтр с
рассматриваемой передаточной характеристикой не будет устойчивым. Та-
ким образом, устойчивый цифровой фильтр с сосредоточенными параметра-
ми может обладать линейной фазово-частотной характеристикой в том и
только в том случае, если его передаточная характеристика не содержит по-
люсов.
       На основании вышеизложенного может создаться впечатление, что все
линейные цифровые фильтры имеют передаточную характеристику вида
(3.7). Существуют, однако, системы обработки сигналов, которые не могут
быть сведены к фильтрам с сосредоточенными параметрами. Так, например,
в задачах на дифракцию электромагнитного излучения [Дж. Гудмен. Введение в
фурье-оптику. – М.: Мир, 1970, с.88] связь между исходным изображением f ( x , y )



                                                          22