Методы проектирования цифровых фильтров. Белодедов М.В. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

47
Знакомство с методами вычислительной математики наталкивает на
мысль использовать симметричную аппроксимацию производной:
D
-
®
-+
2
11 nn
xx
dt
dx
.
Такая аппроксимация приводит к преобразованию:
D
-
®
-
2
1
zz
s
.
Рис.20. Преобразование
z
при
использовании симметричной
разностной аппроксимации.
Однако использование симметрич-
ной аппроксимации производной приво-
дит к тому, что левая полуплоскость s-
плоскости преобразуется в многосвяз-
ную область z-плоскости, как это пока-
зано на рис.20. При этом каждая точка s-
плоскости переходит в две точки z-
плоскости, так что преобразование даже
не сохраняет количества нулей и полю-
сов передаточной характеристики.
Мнимая ось s-плоскости отображается
сразу на единичную окружность и на
мнимую ось z-плоскости, а точка
¥
=s
–
одновременно в две точки –
¥
=z
и
0=z
.
Таким образом, применение симмет-
ричной разностной аппроксимации не приносит ожидаемых результатов. Это
же можно сказать и об аппроксимациях более высоких порядков.
Тем не менее, известно и широко используется преобразование
z
s ®
,
удовлетворяющее всем необходимым требованиям. Это так называемое би-
линейное преобразование:
1
1
1
12
-
-
+
-
D
®
z
z
s
.
(7.6)
Выражение (7.6) допускает обращение:
s
s
z
-
+
¬
D
D
2
2
,
из вида которого легко сделать вывод, что точки мнимой оси
w
=
j
s
били-
нейное преобразование переводит в точки единичной окружности
1=z
, а
точки левой полуплоскости
(
)
0Re
<
s – в область, ограниченную единичной
окружностью
1<z
.
Итак, точка
w
=
j
s
s-плоскости должна преобразовываться в точку
j
=
j
ez
z-плоскости:
( )
2tg
2
cos2
sin2
22
1
12
2
2
22
22
j
D
=
D
=
+
-
D
=
+
-
D
®w
j
j
j-j
j-j
j-
j-
j
j
ee
ee
e
e
j
jj
jj
j
j
.
(7.7)
       Знакомство с методами вычислительной математики наталкивает на
мысль использовать симметричную аппроксимацию производной:
                               dx      x -x
                                   ® n +1 n -1 .
                               dt            2D
       Такая аппроксимация приводит к преобразованию:
                                        z - z -1
                                   s®              .
                                            2D
                                                  Однако использование симметрич-
                                             ной аппроксимации производной приво-
                                             дит к тому, что левая полуплоскость s-
                                             плоскости преобразуется в многосвяз-
                                             ную область z-плоскости, как это пока-
                                             зано на рис.20. При этом каждая точка s-
                                             плоскости переходит в две точки z-
                                             плоскости, так что преобразование даже
                                             не сохраняет количества нулей и полю-
                                             сов       передаточной    характеристики.
                                             Мнимая ось s-плоскости отображается
                                             сразу на единичную окружность и на
                                             мнимую ось z-плоскости, а точка s = ¥ –
  Рис.20. Преобразование s ® z при           одновременно в две точки – z = ¥ и
     использовании симметричной              z = 0.
       разностной аппроксимации.                  Таким образом, применение симмет-
ричной разностной аппроксимации не приносит ожидаемых результатов. Это
же можно сказать и об аппроксимациях более высоких порядков.
       Тем не менее, известно и широко используется преобразование s ® z ,
удовлетворяющее всем необходимым требованиям. Это так называемое би-
линейное преобразование:
                                       2 1 - z -1
                                 s®                  .                           (7.6)
                                       D 1 + z -1
       Выражение (7.6) допускает обращение:
                                          2
                                            +s
                                   z ¬ D2         ,
                                          D
                                            -  s
из вида которого легко сделать вывод, что точки мнимой оси s = jw били-
нейное преобразование переводит в точки единичной окружности z = 1 , а
точки левой полуплоскости Re(s ) < 0 – в область, ограниченную единичной
окружностью z < 1 .
       Итак, точка s = jw s-плоскости должна преобразовываться в точку
      jj
z = e z-плоскости:
                                                            j
               2 1 - e - jj 2 e jj 2 - e - jj 2 2 2 j sin 2 2
         jw ®              =                     =            = j tg(j 2 ) .     (7.7)
               D 1 + e - jj D e jj 2 + e - jj 2 D 2 cos j2 D

                                         47

Страницы