Составители:
14
Умножим уравнение (2.1) на
u
i
. Пренебрегая работой вязких сил, в этом случае
получаем
u
i
(
∂
t
∂
T
+
u
j
∂
x
j
∂
T
)=
Pr
÷
u
i
∂x
2
j
∂
2
T
.
Умножим
i
-ю проекцию уравнения Навье-Стокса на
T
:
T
(
∂t
∂u
i
+
u
j
∂x
j
∂u
i
)=
à
ú
T
∂
x
i
∂
p
+
÷
T
∂x
2
j
∂
2
u
i
.
В результате сложения последних двух уравнений получаем
∂
t
∂
(
u
i
T
)+
∂
x
j
∂
(
u
i
u
j
T
)=
Pr
÷
u
i
∂x
2
j
∂
2
T
à
ú
T
∂x
i
∂p
+
÷T
∂x
2
j
∂
2
u
i
.
Операция осреднения во времени дает
∂
t
∂
u
i
T
+
∂t
∂
u
0
i
T
0
+
∂
x
j
∂
u
i
u
j
T
+
∂
x
j
∂
u
i
u
0
j
T
0
+
∂
x
j
∂
u
j
u
0
i
T
0
+
∂
x
j
∂
T u
0
i
u
0
j
+
+
∂
x
j
∂
u
0
i
u
0
j
T
0
=
Pr
÷
(
u
i
∂x
2
j
∂
2
T
+
u
0
i
∂x
2
j
∂
2
T
0
)
à
ú
T
∂
x
i
∂p
à
ú
T
0
∂
x
i
∂p
0
+
÷T
∂x
2
j
∂
2
u
i
+
÷T
0
∂x
2
j
∂
2
u
0
i
.
(2.3)
Умножим на
u
i
уравнение (2.2):
u
i
(
∂
t
∂T
+
u
j
∂
x
j
∂T
)=
u
i
Pr
÷
∂x
2
j
∂
2
T
à
u
i
∂
x
j
∂
u
0
j
T
0
,
а
i
-ю проекцию уравнения Навье-Стокса на
T
:
T
∂
t
∂u
i
+
u
j
T
∂
x
j
∂u
i
+
Tu
0
j
∂
x
j
∂u
0
i
=
à
ú
T
∂
x
i
∂p
+
÷T
∂x
2
j
∂
2
u
i
.
Суммируя последние два уравнения и вычитая результат из (2.3), получаем уравне-
ние для корреляции
u
0
i
T
0
вида
∂t
∂
u
0
i
T
0
+
u
j
∂
x
j
∂
u
0
i
T
0
=
à
u
0
j
T
0
∂
x
j
∂
u
i
à u
0
i
u
0
j
∂
x
j
∂T
à
à
∂
x
j
∂
u
0
i
u
0
j
T
0
à
ú
T
0
∂
x
i
∂p
0
+
Pr
÷
u
0
i
∂x
2
j
∂
2
T
0
+
÷T
0
∂x
2
j
∂
2
u
0
i
.
(2.4)
Последние два члена в правой части (2.4) преобразуются согласно
∂x
2
j
∂
2
u
0
i
T
0
=
∂
x
j
∂
∂
x
j
∂
u
0
i
T
0
=
∂
x
j
∂
(
T
0
∂
x
j
∂u
0
i
+
u
0
i
∂
x
j
∂T
0
)=
=
T
0
∂x
2
j
∂
2
u
0
i
+
∂
x
j
∂T
0
∂
x
j
∂u
0
i
+
u
0
i
∂x
2
j
∂
2
T
0
+
∂
x
j
∂u
0
i
∂
x
j
∂T
0
.
Обозначая
÷/
Pr =
ë
- коэффициент температуропроводности, можно записать
ëu
0
i
∂x
2
j
∂
2
T
0
+
÷T
0
∂x
2
j
∂
2
u
0
i
=
ëu
0
i
∂x
2
j
∂
2
T
0
+
ëT
0
∂x
2
j
∂
2
u
0
i
+(
÷
à ë
)
T
0
∂x
2
j
∂
2
u
0
i
=
ë
(
∂x
2
j
∂
2
u
0
i
T
0
à
2
∂
x
j
∂T
0
∂
x
j
∂u
0
i
)+
(
÷
à ë
)
T
0
∂x
2
j
∂
2
u
0
i
.
Корреляция
ú
T
0
∂
x
i
∂p
0
представляется в виде
14
Умножим уравнение (2.1) на ui . Пренебрегая работой вязких сил, в этом случае
получаем
∂T ∂T ÷ 2
∂ T
ui ( ∂ t + u j ∂ x j ) = Pr
u i ∂x 2.
j
Умножим i -ю проекцию уравнения Навье-Стокса на T :
∂u ∂u T ∂p ∂ 2u
T ( ∂ti + u j∂x ij) = à ú ∂x i + ÷T ∂x 2i .
j
В результате сложения последних двух уравнений получаем
∂ ∂ ÷ ∂ 2T T ∂p ∂ 2u i
∂t
(u i T) + ∂x j
( u u
i j T ) = u
Pr i ∂x j
2 à ú ∂x i
+ ÷T ∂x 2j
.
Операция осреднения во времени дает
∂
uT
∂t i
+ ∂t∂ u 0i T 0 + ∂x∂ ju iu jT + ∂x∂ ju i u 0jT 0 + ∂x∂ ju j u 0i T 0 + ∂x∂ jT u 0i u 0j +
2 2 0 2 ∂ u2 0
T ∂p
∂ 0 0 0 ÷
(u i ∂∂xT2 u 0i∂∂xT2 ) ÷T∂∂xu2i
0
+ uuT
∂x j i j
= Pr + à ú ∂x i
à T 0 ∂p + + ÷T 0 ∂x 2i.
j j ú ∂x i j j
(2.3)
Умножим на ui уравнение (2.2):
2
∂T
u i(∂∂Tt + u j ∂x ) = ui P÷r ∂∂ xT2 à u i∂∂x ju 0jT 0 ,
j
j
а i -ю проекцию уравнения Навье-Стокса на T:
0
∂ ui ∂ ui ∂u ∂p 2
T ∂t
+ u jT ∂ xj
0 i
+ Tuj∂x j = à Tú ∂ x i + ÷T∂∂xu2i.
j
Суммируя последние два уравнения и вычитая результат из (2.3), получаем уравне-
0
ние для корреляции u i T 0 вида
u T + u j ∂x∂ ju 0iT 0 = à u 0jT 0 ∂u
∂ 0 0
∂t i
i
∂x j
∂T
à u 0i u 0j ∂x j
à
0 0 2 0 ∂ u 2 0
∂ 0 0 0
à uuT
∂x j i j
à T ∂p + ÷
Pr
u 0i∂∂xT2 + ÷T 0 ∂x 2i. (2.4)
ú ∂x i j j
Последние два члена в правой части (2.4) преобразуются согласно
0
∂2 0 0
u T = ∂ ∂ 0 0
u T = ∂
(T 0∂u i + u 0 ∂T 0 ) =
∂x 2j i ∂x j∂x j i ∂x j ∂x j i ∂x j
2 0
∂u 0i ∂T 0
0
∂ u ∂T 0 ∂u i
2 0
= T 0 ∂x 2i + + u 0i∂∂xT2 + ∂x ∂x .
j ∂x j ∂x j j j j
Обозначая ÷/Pr = ë - коэффициент температуропроводности, можно записать
2 0 ∂ u 2 0 2 0 ∂ u 2 0 ∂ u 2 0
ëu 0i ∂∂xT2 + ÷T 0 ∂x 2i = ëu 0i ∂∂xT2 + ëT 0 ∂x 2i + (÷ à ë)T 0 ∂x 2i =
j j j j j
2 0 2 0
∂ 0 0 ∂T 0 ∂u i ∂ u
ë(∂x 2u i T à 2 ) + (÷ à ë)T 0 ∂x 2i.
j ∂x j ∂x j j
T 0 ∂p 0
Корреляция представляется в виде
ú ∂x i
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- …
- следующая ›
- последняя »
