Моделирование турбулентных течений. Белов И.А - 51 стр.

                                                                                         51

симость c ö от осредненного по толщине слоя отношения (∂u i/∂x j) 2/ε , которая
значительно улучшает прогнозирование течений со слабым сдвигом.
    Из приведенных выше данных видно, что имеет место некоторый разброс значе-
ний постоянных модели c ε 1, c ε 2, û ε . Исследование затухающей турбулентности за
решеткой при высоких значениях турбулентного числа Рейнольдса (однородная изо-
тропная турбулентность) дает c ε 2 = 1.8 [ 20 ]. В то же время на больших расстоя-
ниях от решетки c ε2 асимптотически приближается к значению ø 1.4 , что является
следствием уменьшения Re t . Для совместимости результатов, получаемых с по-
мощью рассматриваемой модели турбулентности, с логарифмическим законом стен-
ки для пристеночных течений, турбулентность которых близка по состоянию к ло-
кально равновесной, постоянная û ε выражается через c ö и разность ( c ε2 à c ε1 )
следующим образом [ 4 ]. Полагая пристеночный слой полностью турбулентным,
уравнение (6.6б) для ε , соответствующее условию локальной изотропности дисси-
пирующих вихрей для пограничного слоя на стенке при y = 0 , можно записать в
виде
                     ∂ ÷ t ∂ε             ε       ∂u 2         ε2
                       (
                     ∂y û ε ∂y ) +  c ε 1 k
                                            ÷ t ( ∂y
                                                     ) à c ε 2 k
                                                                  = 0.
С учетом свойства локального равновесия энергии турбулентных пульсаций в рас-
сматриваемом течении, а именно         ÷ t(∂u
                                           ∂y
                                              )2 = ε ,     последнее уравнение переписы-
вается так:
                                                                2
                             ∂ ÷ t ∂ε
                               (
                             ∂y û ε ∂y )   = (c ε 2 à c ε 1 ) εk .
Приняв, что трение на стенке, в соответствии с зависимостью (6.2а), ü w = úc 1ö/2k и
                                                               2           2
используя при этом модель Прандтля пути смешения ÷ t = l ∂u/∂y = l ü w /÷ t ,
                                  1/2
определим ÷ t как ÷ t = l(ü w /ú)     = lc 1ö/4k 1/2, где l = ôy, ô = 0.4 ä 0.42
- постоянная Кармана.
    Принимая во внимание последнее выражение, исходное уравнение для            ε может
быть переписано в виде
                          2                            û ε ε2
                       y∂∂yε2 + ∂ε = (c ε 2 à c ε 1 )    1 / 4 3/2 .
                                ∂y                    ôc ö k
Отметим, что при выводе этого уравнения использовано свойство, вытекающее из
зависимости (6.2а) для k , заключающееся в том, что для развитого турбулентного
течения вблизи стенки y = 0 градиент ∂k/∂y = 0. Решением полученного урав-
нения является зависимость        ε(y) вида,     аналогичного ранее полученной (6.2), а
именно:
              ε = ôc 1ö/4k 3/2/[(c ε2 à c ε1) û εy)].                           (6.2б)
Сравним зависимости (6.2) и (6.2б). Их сопоставление при l = ôy  дает искомую
связь постоянных модели û ε, c ö, c ε1 и c ε2 с постоянной Кармана ô :
              û ε = ô 2/[c 1ö/2(c ε2 à c ε1)].                                  (6.7)
   По данным [ 20 ], совместимость с законом стенки требует отношения c ö/û ε =
0.069 , т.е. при c ö = 0.09, û ε = 1.3. В то же время из (6.7) следует, что посто-
янная û ε = 1.225 при c ö = 0.09, c ε2 = 1.92 и c ε 1 = 1.44 . Используя стан-
дартный набор констант, можно найти, что ô = 0.433.