Моделирование турбулентных течений. Белов И.А - 58 стр.

                                                                                      58

                                                                       1/2
торой средней частотой, определяемой с помощью ω = ck /l , где c - постоян-
ная. С другой стороны, ω является временным масштабом, на котором имеет место
диссипация турбулентной энергии. Хотя реальный процесс диссипации происходит в
мельчайших вихрях, скорость диссипации является скоростью переноса кинетиче-
ской энергии турбулентности к мельчайшим вихрям. Следовательно, она определя-
ется свойствами крупных вихрей и, таким образом, масштабами k и l , из-за чего ω
косвенно ассоциируется с диссипативными процессами. Следует отметить, что по
аналогии с молекулярной турбулентная вязкость пропорциональна произведению
турбулентных масштабов скорости и длины, которое согласуется с колмогоровским
                      1/2
аргументом ω ù k /l . Конечно, при этом надо иметь в виду, что указанная ана-
логия не вполне правомочна, а аргумент Колмогорова скорее является примером из
анализа размерностей, нежели выводом фундаментальной физики.
    Хотя изложение модели Колмогорова было кратким, а константы замыкания ус-
тановлены не полностью, по мнению Вилкокса [ 5 ], крайне удивительно, как этот
великий исследователь турбулентности вывел модельные уравнения. При этом он
не привел ссылок на какие-либо точные уравнения, которые бы символизировали,
каким путем он замкнул уравнение для k или другим моментов. Однако легко пред-
ставить себе мотивы, основанные на анализе размерностей:
    - исходным моментом является пропорциональность ÷ t и k ;
   -    размерность   ÷t    - [длина]2/[время], а   k -[длина]2/[время]2;
   -   следовательно, ÷ t / k имеет размерность [время];
   -   диссипация турбулентности ε имеет размерность [длина]2/[время]3;
   -   следовательно, размерность ε / k - 1/[время];
   -   можно замкнуть выражения для турбулентной вязкости и уравнение для ε ,
       вводя переменную с размерностью [время] или 1/[время].
   Следующим шагом является постулирование уравнения для ω . Во внимание
приняты только некоторые из наблюдаемых физических процессов: нестационар-
ность, конвекция (иногда трактуемая как адвекция), диффузия, диссипация, диспер-
сия и генерация. Комбинируя физические соображения с анализом размерностей,
Колмогоров постулировал следующее уравнение для ω :
   ∂ω         ∂ω          2    ∂          ∂ω
   ∂t
        + u j ∂x j
                   = à ìω   + ∂x j
                                   [ û÷ t ∂x j
                                               ].                            (6.16)
Здесь, по выражению Вилкокса, допущены некоторые вольности с обозначениями, а
k и û являются двумя новыми константами замыкания. Данное уравнение имеет
четыре примечательные черты. 1. Отсутствует генеративный член, аналогичный та-
кому же члену в уравнении для k . Это согласуется с мнением Колмогорова о том,
что ω ассоциируется с мельчайшими масштабами турбулентности и напрямую не
взаимодействует с осредненным движением. Его логика основывалась на предпо-
ложении, согласно которому крупномасштабные энергоемкие вихри преимуществен-
но ответственны за определение соответствующего временного масштаба турбу-
лентности и самой скорости диссипации. 2. Запись уравнения в терминах ω выгля-
                                                2
дит предпочтительнее, чем в терминах ω . Как показано Вилкоксом, решение Кол-
могорова записать уравнение именно для ω было воистину пророческим выбором.
3. В уравнении нет члена с молекулярной диффузией, так что оно оказывается при-
емлемым лишь для высокорейнольдсовых течений и не может проинтегрировано
сквозь вязкий подслой. 4. Уравнение полностью эмпирическое, обусловленное фи-
зическими соображениями.
    Еще несколько замечаний по трактовке ω . Саффмен (1970) определил этот па-
раметр как частотную характеристику самопроизвольного процесса турбулентного