Моделирование турбулентных течений. Белов И.А - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БГТУ «ВОЕНМЕХ» | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

8
Рис.3
1. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ХАРАКТЕРИСТИК ТУРБУЛЕНТНОСТИ
1.1. Осредненные по Рейнольдсу уравнения движения вязкой
несжимаемой жидкости
Система уравнений Навье-Стокса для описания турбулентного движения вязкой
несжимаемой ньютоновской жидкости при отсутствии массовых сил может быть
представлена в векторно-тензорной форме:
∇ ï
V
→à
=0
,(1.1)
ú
Dt
D
V
→à
=
à ∇
p
+
∇ ï
(
ö
∇
V
→à
)
.(1.2)
В скалярно-тензорной форме уравнения неразрывности и изменения количества
движения записываются так:
∂
x
j
∂
u
j
=0;
(1.3)
∂
t
∂
u
k
+
u
j
∂
x
j
∂
u
k
=
à
ú
1
∂
x
k
∂
p
+
ú
1
∂x
j
∂
ü
jk
.(1.4)
С учетом уравнения неразрывности (1.3) уравнение (1.4) может быть представлено в
виде
∂
t
∂
u
k
+
∂
x
j
∂
(
u
j
u
k
)=
à
ú
1
∂
x
k
∂
p
+
ú
1
∂x
j
∂
ü
jk
. (1.4а)
В уравнениях (1.1)-(1.4) используемые индексы определяют направления декарто-
вой системы координат
x
j
(здесь
j
=1
,
2
,
3;
k
=1
,
2
,
3;
u
k
,u
j
à
декартовые составляющие скорости в направлении соответствующих
осей;
p
à
давление;
t
à
время;
ú
à
плотность жидкости;
ü
j
k
à
составляющие
тензора вязких напряжений;
ü
j
k
=
ö
(
u
j
/
x
k
+
u
k
/
x
j
);
ö
à
коэффициент
динамической (молекулярной) вязкости;
V
→à
à
вектор местной скорости потока;
V
→à
=
e
→à
i
u
i
;
e
→à
i
à
единичные векторы;
∇ à
оператор Гамильтона;
Dt
D
à
полная
производная по времени.
С учетом уравнения неразрывности член, определяющий касательное трение,
записывается как
ú
1
∂
x
j
∂
ü
jk
=÷
∂x
2
j
∂
2
u
k
,
(1.5)
где
÷
=
ö/ú
à
коэффициент кинематической вязкости.
Как уже отмечалось, согласно подходу Рейнольдса, любые мгновенные значения
гидродинамических параметров потока представляются в виде суммы осредненной
величины (во времени) и ее пульсационной составляющей. Фактически это означа-
ет, что гидродинамическая величина является случайной, осреднение которой во
времени дает ее математическое ожидание, а пульсационная составляющая кото-
рой – дисперсия случайной величины.
Обозначая осредненную во времени величину
( )
, а пульсационную
()
0
, для составляющей скорости
u
j
, например, можно запи-
сать u
j
=
u
j
+
u
0
j
.Тогда уравнение (1.3) примет вид
                                                                                    8




                                       Рис.3
           1. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ХАРАКТЕРИСТИК ТУРБУЛЕНТНОСТИ
             1.1. Осредненные по Рейнольдсу уравнения движения вязкой
                                 несжимаемой жидкости

   Система уравнений Навье-Стокса для описания турбулентного движения вязкой
несжимаемой ньютоновской жидкости при отсутствии массовых сил может быть
представлена в векторно-тензорной форме:
    à
    →
∇ ï V = 0,                                                                 (1.1)
       à
       →                   à
                           →
úDDtV      = à ∇p + ∇ ï (ö∇ V ) .                                          (1.2)
В скалярно-тензорной форме уравнения неразрывности и изменения количества
движения записываются так:
∂ uj
∂ xj
       = 0;                                                                (1.3)
∂ uk          ∂u
 ∂t
       + u j ∂ x kj = à 1ú ∂∂xpk + 1ú ∂∂x jüjk .                           (1.4)
С учетом уравнения неразрывности (1.3) уравнение (1.4) может быть представлено в
виде
∂ uk
 ∂t
       + ∂∂x j(u ju k ) = à 1ú ∂∂xpk + 1ú ∂∂x jüjk .                       (1.4а)
В уравнениях (1.1)-(1.4) используемые индексы определяют направления декарто-
вой       системы     координат    xj     (здесь    j = 1, 2, 3; k = 1, 2, 3;
u k , u j à декартовые составляющие скорости в направлении соответствующих
осей; p à давление; t à время; ú à плотность жидкости; ü jk à составляющие
тензора вязких напряжений;ü jk = ö(∂u j/∂x k + ∂u k /∂x j); ö à коэффициент
                                      à
                                      →
динамической (молекулярной) вязкости; V à вектор местной скорости потока;
à
→
 V =→àe u; → à
             e à единичные векторы; ∇ à оператор Гамильтона; D à полная
             i i       i                                              Dt
производная по времени.
   С учетом уравнения неразрывности член, определяющий касательное трение,
записывается как
         1 ∂               ∂ 2u k
              ü = ÷ ∂ x2 ,
         ú ∂ x j jk                                                        (1.5)
                               j
где    ÷ = ö/ú à коэффициент кинематической вязкости.
    Как уже отмечалось, согласно подходу Рейнольдса, любые мгновенные значения
гидродинамических параметров потока представляются в виде суммы осредненной
величины (во времени) и ее пульсационной составляющей. Фактически это означа-
ет, что гидродинамическая величина является случайной, осреднение которой во
времени дает ее математическое ожидание, а пульсационная составляющая кото-
рой – дисперсия случайной величины. Обозначая осредненную во времени величину
( ) , а пульсационную ( )0 , для составляющей скорости u j , например, можно запи-
сать   u j = u j + u 0j .Тогда уравнение (1.3) примет вид

Страницы