Составители:
9
∂
x
j
∂
u
j
=0;
∂
x
j
∂u
0
j
=0
.
(1.3а)
Для давления
p
=
p
+
p
0
,
для трения
ü
jk
=
ü
jk
+
ü
0
j
k
.
Естественно, что
u
0
j
ñ
0
,
p
0
ñ
0
,
ü
0
j
k
ñ
0
.
Следует отметить, что среднее значение
u
i
, несмотря на интег-
рирование по времени:
u
i
(
t, x
j
)=
2
4
t
1
⎧
⎭
t
+
4
t
t
à4
t
u
i
(
t, x
j
)
dt
может изменяться во времени. Это означает, что период интегрирования
2
4
t
дол-
жен быть малым по сравнению с характерным временем нестационарного измене-
ния
u
i
.
Применяя операцию осреднения во времени к уравнению (1.4а), получим
∂
t
∂
(
úu
k
)+
∂
x
j
∂
(
ú
u
j
u
k
)=
à
∂
x
k
∂
p
+
∂
x
j
∂
(
ü
jk
à
úu
0
j
u
0
k
)
,
(1.6)
где
à
úu
0
j
u
0
k
- составляющие тензора напряжений Рейнольдса или рейнольдсовых
напряжений. Они являются дополнительными (шестью) неизвестными к гидродина-
мическим параметрам осредненного движения (
u
j
,p
)
. Таким образом, система
уравнений (1.3а) и (1.6) является незамкнутой.
Вопросы замыкания полученной системы уравнений решаются на различном
уровне сложности, и им будет посвящена значительная часть курса. Простейший
путь – использование эмпирической информации о характеристиках турбулентности,
наиболее сложный заключается в выводе уравнений относительно рейнольдсовых
напряжений.
1.2. Уравнения для рейнольдсовых напряжений
Вывод уравнения для рейнольдсовых напряжений (
à
úu
0
j
u
0
k
) начинается с
преобразования уравнения (1.4а). Умножая его на
u
i
, получим
u
i
(
∂
t
∂
u
k
+
∂
x
j
∂
(
u
j
u
k
)) =
u
i
(
à
ú
1
∂
x
k
∂
p
+
ú
1
∂
x
j
∂
ü
jk
)
.
(1.7)
Поменяем индексы
i
и
k
местами:
u
k
(
∂
t
∂
u
i
+
∂
x
j
∂
(
u
j
u
i
)) =
u
k
(
à
ú
1
∂
x
i
∂
p
+
ú
1
∂
x
j
∂
ü
ji
)
.
(1.8)
Суммируя (1.7) и (1.8), получим
∂
t
∂
(
úu
i
u
k
)+
∂
x
j
∂
(
úu
i
u
k
u
j
)=
à
u
i
∂
x
k
∂
p
à
u
k
∂
x
i
∂
p
+
u
i
∂
x
j
∂
ü
jk
+
u
k
∂
x
j
∂
ü
ji
.(1.9)
В результате осреднения во времени уравнения (1.9) имеем
∂
t
∂
(
úu
i
u
k
)+
∂
t
∂
(
úu
0
i
u
0
k
)+
∂
x
j
∂
(
úu
i
u
j
u
k
+
úu
i
u
0
j
u
0
k
+
+
úu
j
u
0
i
u
0
k
+
úu
k
u
0
i
u
0
j
+
úu
0
i
u
0
j
u
0
k
)=
à
u
i
∂
x
k
∂
p
à
(1.10)
9
0
∂u j ∂u
j
∂x j
= 0; ∂x j
= 0. (1.3а)
Для давления p = p + p 0, для трения ü jk = üjk + ü0jk . Естественно, что u 0j ñ 0,
p 0 ñ 0, ü 0jk ñ 0.
Следует отметить, что среднее значение u i , несмотря на интег-
рирование по времени:
⎧ t+4t
u i(t, x j) = 1 ⎭ u i(t, x j)dt
24t tà4t
может изменяться во времени. Это означает, что период интегрирования 2 4t дол-
жен быть малым по сравнению с характерным временем нестационарного измене-
ния u i .
Применяя операцию осреднения во времени к уравнению (1.4а), получим
∂ ∂p
∂t
(úu k ) + ∂∂x j(ú u j u k ) = à ∂ x k + ∂∂x j(üjk à úu 0ju 0k ), (1.6)
0 0
где à úu ju k - составляющие тензора напряжений Рейнольдса или рейнольдсовых
напряжений. Они являются дополнительными (шестью) неизвестными к гидродина-
мическим параметрам осредненного движения ( u j, p) . Таким образом, система
уравнений (1.3а) и (1.6) является незамкнутой.
Вопросы замыкания полученной системы уравнений решаются на различном
уровне сложности, и им будет посвящена значительная часть курса. Простейший
путь использование эмпирической информации о характеристиках турбулентности,
наиболее сложный заключается в выводе уравнений относительно рейнольдсовых
напряжений.
1.2. Уравнения для рейнольдсовых напряжений
0 0
Вывод уравнения для рейнольдсовых напряжений ( à úu ju k ) начинается с
преобразования уравнения (1.4а). Умножая его на u i , получим
∂ uk ∂ 1 ∂p 1
u i ( ∂ t + ∂ x j(u j u k )) = u i (à ú ∂ x k + ú ∂x∂ j ü jk). (1.7)
Поменяем индексы i и k местами:
∂ ui ∂p
uk ∂ t( + ∂
∂ xj
(u j u i)) = u k (à 1ú ∂ x i + 1ú ∂x∂ jüji). (1.8)
Суммируя (1.7) и (1.8), получим
∂ ∂ ∂p ∂p ∂ü ∂ü
∂t
(úu iu k ) + ∂x j(úu iu k u j) = à u i∂ x k à u k ∂ x i + u i ∂ xjkj + u k ∂ xjij .(1.9)
В результате осреднения во времени уравнения (1.9) имеем
∂
∂t
(úu i u k ) + ∂t∂ (úu 0i u 0k ) + ∂x∂ j(úu i u j u k + úu i u 0j u 0k +
∂p
+ úu j u 0i u 0k + úu k u 0iu 0j + ú u 0iu 0ju 0k ) = à u i ∂x k
à (1.10)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- …
- следующая ›
- последняя »
