Моделирование турбулентных течений. Белов И.А - 89 стр.

                                                                                                  89

    Наиболее простой формой уравнения для рейнольдсовых напряжений, которая
справедлива при высоких значениях Re t , является форма, при построении которой
использованы зависимости (7.2), (7.4), (7.7) и (7.8а). В связи с применением послед-
ней зависимости следует сказать, что хотя предпочтительней с физической точки
зрения использование (7.8), в результате численного эксперимента установлено, что
зависимость (7.8а) также дает в равной мере удовлетворительные результаты. По-
лагая при этом функции f 1 и f s равными нулю ( Re t → ∞ ), уравнение (7.12) мож-
но переписать в виде
 ∂ 0 0            ∂ 0 0          ∂2 0 0       0 ∂ k 0 0 ∂            0 0
∂t
   u i u k + u
             ö j ∂x j
                     u i u k = ÷   2 u
                                 ∂x i k
                                       u +  c s ∂x j(ε u ju l ∂x l u i u k ) +
                                       j

+ P ik à c R1εk(u 0iu 0k à 23î ikk) à c 0R 2(P ik à 23î ik P) à 23î ik ε.               (7.12а)
Отметим, что в уравнении (7.12а) часто пренебрегают диффузией, обусловленной
молекулярной аязкостью (первый член в правой части). Также отметим, что набор
                                                                       0
постоянных в (7.12а) включает только три коэффициента: c s , c R 1 и c R2 .

             7.3. Замыкание уравнений для рейнольдсовых напряжений

   Вне зависимости от формы записи уравнения для рейнольдсовых напряжений,
неизвестной величиной в (7.12) или (7.12а) является скорость диссипации энергии
пульсаций ε . Для ее определения используют либо эмпирические соотношения типа
ε = c D k3 / 2 /L , либо такое же дифференциальное уравнение, как построенное ра-
нее для двухпараметрической диссипативной модели турбулентности. В первом
случае для течений вблизи стенки
                                                        ∂u     ∂u
      ε = c D k3/ 2 /L = c D k2 c ö /÷ t = c D c ö k2 (∂x ij + ∂x j)/(à u 0j u 0i ) ,   (7.14)
                                                                    i
где   c ö = 1, c D = 0.09 .
      В упрощенном виде зависимость (7.14) записывается так:
      ε = c Dc ök 2∂u
                    ö
                   ∂y /(
                        à u 0v 0),                                         (7.14а)
где   y - координата, нормальная к стенке, u, v - составляющие скорости в направле-
нии вдоль стенки и по нормали к ней.
    Вне пристеночного слоя масштаб турбулентности L в выражении для ε (7.14)
задается эмпирически, поэтому в моделях турбулентности, использующих уравне-
ния для рейнольдсовых напряжений, более распространен подход, согласно кото-
рому скорость диссипации полагается приближенно равной изотропной диссипации
ε s ( Re t → ∞ ) и определяется из соответствующего уравнения. При этом моде-
лирование диффузионного члена в уравнении для ε осуществляется с помощью за-
висимостей (6.5) или (6.5а), что, в принципе, дает один и тот же результат, ввиду
предположения о роли члена, определяющего диффузию диссипации из-за пульса-
ций давления. Таким образом, уравнение для ε имеет вид
    ∂ε         ∂ε            ∂ k      0 0 ∂ε             ε    0 0 ∂u i         ε2
    ∂t
       +   u
           ö j ∂x j
                    = c ε       [
                          4 ∂x j ε (u  u )
                                      j k ∂x k ] à c ε 1 k
                                                           (u  u )
                                                              i j ∂x j à c ε 2 k . (7.15)
    Это одна из наиболее употребительных форм записи уравнения для ε в моде-
лях турбулентности с дифференциальными уравнениями для рейнольдсовых на-
пряжений (здесь пренебрегли членом диффузии диссипации из-за молекулярной
вязкости и членом, определяющим анизотропию турбулентности в члене диссипации
диссипации). Постоянная c ε4 в (7.15) в большинстве работ принимается равной
0.15, хотя известны работы, в которых c ε4 = 0.25 [ 6,16 ]. Прочие постоянные, как в