Физика. Ч.1. Белякова В.И - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

20 21
Разобьем цилиндр на отдельные концентрические цилиндры бес-
конечно малой толщины
r
d
с внутренним радиусом r и внешним
r
r
d
+
.
Момент инерции каждого такого цилиндра
,d,dd
2
rrmrJ <<=
(3.3)
где
m
d
– масса элементарного цилиндра;
;
d
d
V
m
r
-
r – плотность тела;
V
d
– элемент объема.
Массу элементарного цилиндра можно представить как
,
d
2
d
rh
m
p
r
=
(3.4)
тогда
;ρ
2
1
dρ2d
4
0
3
RhrrhJJ
R
p=p-=
ò ò
(3.5)
так как масса цилиндра
,
2
rp= hRm
тоо
.
2
2
mR
J = (3.6)
Если известен момент инерции тела относительно оси, проходя-
щей через центр масс, то момент инерции относительно любой другой
параллельной оси определяется теоремой Штейнера
.d
2
0
mJJ +=
(3.7)
Момент инерции относительно любой оси вращения равен момен-
ту инерции J
0
относительно параллельной оси, проходящей через центр
масс, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между ося-
ми (табл. 3.1).
Таблица 3.1
Значения моментов инерции однородных тел
правильной геометрической формы
Тело Положение оси вращения Момент инерции
Полный тонкостенный
цилиндр (обруч)
радиусом R
Ось симметрии
mR
2
Сплошной цилиндр или
диск радиусом R
Ось симметрии
2
2
1
mR
Шар радиусом R Ось симметрии проходит
через центр шара
2
5
2
mR
Прямой тонкий стержень
длиной l
Ось проходит
перпендикулярно стержню
через середину
2
12
1
ml
Прямой тонкий стержень
длиной l
Ось проходит
перпендикулярно стержню
через конец
2
3
1
ml
3. 2. Кинетическая энергия вращающегося тела
Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся вокруг
неподвижной оси. Мысленно разобьем тело на элементарные объемы с
массами
,...,,,
21 n
mmm
находящиеся на расстоянии
n
rrr ...,,,
21
от осиси
вращения.
Линейные скорости
n
vvv ...,,,
21
элементарных объемов различны, а
угловая – одинакова, скорость их вращения
т. е.
....
2
2
1
1
n
n
r
v
r
v
r
v
===w
(3.8)
Кинетическая энергия вращающего-
ся тела определится как сумма кинетичес-
ких энергий элементарных объемов:
.
22
...
22
1
22
2
22
2
11
кин.вр
å
=
=+++=
n
i
iinn
vmvm
vmvm
W
(3.9)
1
2
2
2
1
1
w
Рис. 3.2

Страницы