Численное решение плоской задачи теплопроводности. Бережной Д.В - 10 стр.

Тогда используя определение правосторонней производной, можно записать

          df ( x)             y − yi
                     = y i ′ ≈ i +1  ,                                              (3.3)
           dx x = xi              Δx


причем чем меньше Δx , тем точнее формула (3.2). Аналогично можно запи-

сать формулы

                   yi − yi −1
          yi ′ ≈                                                                    (3.4)
                      Δx

и

                   yi +1 − yi −1
          yi ′ ≈                 .                                                  (3.5)
                       2Δx

Аналогичным образом, дважды применяя формулу (3.3), определим вторую

производную

                                                          ′
          d 2 f ( x)            ″ ⎛ ′ ⎞′ ≈ ⎛ yi +1 − yi ⎞ = 1           ′    ′
                            = yi = ⎜ yi ⎟ ⎜             ⎟      ( y i + 1 − yi ) ≈
            dx  2                  ⎝    ⎠  ⎝     Δ x    ⎠   Δx
                     x = xi                                                         (3.6)
            1 ⎛ yi + 2 − yi + 1 yi + 1 − yi ⎞ yi + 2 − 2 yi + 1 + yi
          ≈    ⎜               −            ⎟=                       .
            Δx ⎝      Δx            Δx ⎠              Δx 2

Аналогично можно записать

            ″ y − 2 yi −1 + yi − 2                                                  (3.7)
          yi ≈ i
                    Δx 2

или

            ″ y − 2 yi + yi −1
          yi ≈ i + 1           .                                                    (3.8)
                     Δx 2

      Далее, обобщим полученные выражения для производных на функцию

двух переменных T ( x, y ) .Определяя равномерную систему точек для аргу-

ментов, введем следующие обозначения

          xi +1 − xi = y j +1 − y j = Δz для ∀ i, j ;                               (3.9)