Численное решение плоской задачи теплопроводности. Бережной Д.В - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

jiji
TyxT
,
),( = . (3.10)
Тогда выражения для первых и вторых производных примут вид
,
2
)(
),(
,1,1,1,,,1
,
,
z
TT
z
TT
z
TT
T
x
yxT
jijijijijiji
xji
yyxx
ji
Δ
−
≈
Δ
−
≈
Δ
−
≈
′
=
∂
∂
−+−+
==
(3.11)
,
2
)(
),(
1,1,1,,,1,
,
,
z
TT
z
TT
z
TT
T
y
yxT
jijijijijiji
yji
yyxx
ji
Δ
−
≈
Δ
−
≈
Δ
−
≈
′
=
∂
∂
−+−+
==
(3.12)
,
22
2
)(
),(
2
,1,,1
2
,2,1,
2
,,1,2
,
,
2
2
z
TTT
z
TTT
z
TTT
T
x
yxT
jijijijijiji
jijiji
xxji
yyxx
ji
Δ
+−
≈
Δ
+−
≈
≈
Δ
+−
≈
″
=
∂
∂
−+−−
++
==
(3.13)
.
22
2
)(
),(
2
1,,1,
2
2,1,,
2
,1,2,
,
,
2
2
z
TTT
z
TTT
z
TTT
T
y
yxT
jijijijijiji
jijiji
yyji
yyxx
ji
Δ
+−
≈
Δ
+−
≈
≈
Δ
+−
≈
″
=
∂
∂
−+−−
++
==
(3.13)
Для лапласиана будем использовать выражение вида
22
,1 ,1 1, 1, ,
,,
22 2
,
,
4
(, ) (, )
(, ) ( ) ( ) .
ij
ij
ij ij i j i j ij
i j xx i j yy
xxyy
xxyy
TTTT T
Txy Txy
Txy T T
yy z
+−+−
==
==
+++−
⎛⎞
∂∂
″″
Δ=+ =+≈
⎜⎟
∂∂ Δ
⎝⎠
(3.14)
Итерационная схема решения
задачи является более простой с
точки зрения программиста. Пока-
жем на примере задачи из преды-
дущего параграфа основы алгорит-
ма для подобной схемы.
Как и в методе коллокаций,
вводится конечная система точек 
                  T ( xi , y j ) = Ti , j .                                                                                                                  (3.10)

Тогда выражения для первых и вторых производных примут вид

                  ∂T ( x, y )                                            Ti +1, j − Ti , j              Ti , j − Ti −1, j        Ti +1, j − Ti −1, j
                                                     = (Ti , j ) x ′ ≈                              ≈                        ≈                           ,   (3.11)
                     ∂x           x = xi , y = y j                              Δz                            Δz                        2Δz


                  ∂T ( x, y )                                            Ti , j +1 − Ti , j             Ti , j − Ti , j −1       Ti , j +1 − Ti , j −1
                                                     = (Ti , j ) y ′ ≈                              ≈                        ≈                           ,   (3.12)
                     ∂y           x = xi , y = y j
                                                                                Δz                             Δz                       2Δz


                  ∂ 2T ( x, y)                               ″ Ti +2, j − 2Ti +1, j + Ti, j
                                                = (Ti, j ) xx ≈                             ≈
                     ∂x  2
                                                                          Δz  2
                               x = xi , y = y j
                                                                                                                                                             (3.13)
                      Ti, j − 2Ti −1, j + Ti −2, j           Ti +1, j − 2Ti, j + Ti −1, j
                  ≈                                      ≈                                      ,
                                 Δz 2                                    Δz 2

                 ∂ 2T ( x, y)                          ″ Ti, j +2 − 2Ti, j +1 + Ti, j
                                        = (Ti , j ) yy  ≈                             ≈
                    ∂y 2 x= xi , y= y j                             Δz 2
                                                                                                                                                             (3.13)
                     Ti, j − 2Ti, j −1 + Ti, j −2          Ti, j +1 − 2Ti, j + Ti, j −1
                 ≈                                     ≈                                    .
                                Δz   2
                                                                       Δz 2

          Для лапласиана будем использовать выражение вида

                     ⎛ ∂2T(x, y) ∂2T(x, y) ⎞
ΔT(x, y) x=x , y=y = ⎜          +                    = (T    )  ″ + (T ) ″ ≈ Ti, j+1 +Ti, j−1 +Ti+1, j +Ti−1, j − 4Ti, j .                                   (3.14)
                                           ⎟             i, j xx      i, j yy
                     ⎝ ∂y          ∂y2 ⎠ x=x , y=y                                             Δz2
            i     j        2
                                             i     j




                                                                                                           Итерационная схема решения

                                                                                       задачи является более простой с

                                                                                       точки зрения программиста. Пока-

                                                                                       жем на примере задачи из преды-

                                                                                       дущего параграфа основы алгорит-

                                                                                       ма для подобной схемы.

                                                                                                           Как и в методе коллокаций,

                                                                                       вводится конечная система точек

Страницы