Численное решение плоской задачи теплопроводности. Бережной Д.В - 7 стр.

Подставим T ( x, y) в граничные условия и в уравнение теплопроводности.

                        3       3
             λΔ(∑∑ aij x i −1 y j −1 ) + q s =
                       i =1 j =1
                         3      3
                                                                                                                                  (2.4)
             = λ(∑∑ aij ((i − 1)(i − 2) x                i −3
                                                                y   j −1                       i −1
                                                                             + ( j − 1)( j − 2) x y   j −3
                                                                                                             ) + qs = 0
                        i =1 j =1



Здесь следует учитывать, что при i = 1,2 или при                                                                   j = 1,2   выражения

(i − 1)(i − 2) x i − 3 или ( j − 1)( j − 2) y j − 3 соответственно при нулевых значениях x

или y обращаются в 0 .

      Граничные условия на поток тепла примут вид

                 ∂ 3 3                              ∂ 3 3
            λ      (∑∑ aij x i −1 y j −1 ) + qn = −λ (∑∑ aij x i −1 y j −1 ) + qn =
                 ∂n i =1 j =1                       ∂x i =1 j =1
                            3   3
                                                                                                                                  (2.5)
            = −λ(∑∑ (i − 1)aij x      i −2
                                             y   j −1
                                                        ) + qn = 0
                        i =1 j =1



      Условия на конвективный теплообмен можно записать в виде

                 ∂ 3 3                           3   3
            λ      (∑∑ aij x i −1 y j −1 ) + h(∑∑ aij x i −1 y j −1 − T∞* ) =
                 ∂n i =1 j =1                  i =1 j =1

                   ∂ 3 3                           3   3
            =λ       (∑∑ aij x i −1 y j −1 ) + h(∑∑ aij x i −1 y j −1 − T∞* ) =                                                   (2.6)
                   ∂x i =1 j =1                  i =1 j =1
                        3       3                                        3     3
            = λ(∑∑ (i − 1)aij x i − 2 y j −1 ) + h(∑∑ aij x i −1 y j −1 − T∞* ) = 0.
                       i =1 j =1                                        i =1 j =1



      Условия на температуру на нижнем или верхнем краю сечения можно

записать как
             3     3                                       3        3
            ∑ ∑ aij x i −1 y j −1 = Tн или ∑ ∑ aij x i −1 y j −1 = Tв .                                                           (2.7)
            i =1 j =1                                    i =1 j =1



      Развернем суммы в уравнениях (2.4-2.7). Тогда они запишутся в виде:

- уравнение теплопроводности

            λ (2a13 + 2 xa23 + 2a31 + 2 ya32 + 2( x 2 + y 2 )a33 ) + qs = 0,                                                      (2.8)