Механика и молекулярная физика - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

12
n
aaa
r
r
r
+
=
τ
(2.17)
причем по модулю полное ускорение равно:
22
n
aaaa +==
τ
r
. (2.18)
Отметим, что направление вектора
τ
a
r
совпадает с направле-
нием скорости
v
r
при ускоренном движении, и противоположно
направлению скорости
v
r
при замедленном движении. Найдем
выражения для модулей и . Представим скорость
τ
a
n
a
v
r
в виде:
τ
v
r
⋅
=
v
v
, (2.19)
где v – модуль скорости,
τ
r
- единичный вектор ( 1=
τ
), на-
правленный по касательной к траектории вдоль скорости. Тогда
вектор ускорения, согласно определению (2.11):
()
dt
d
v
dt
dv
v
dt
d
a
τ
ττ
rrr
⋅+⋅==
. (2.20)
При движении точки по криволинейной траектории вектор
τ
r
изменяет свое направление в пространстве, следовательно, изменя-
ется и по времени. Найдем
dt
d
τ
. Рассмотрим две близкие точки тра-
ектории 1 и 2 (рис.2.5). Из рис. 2.5 следует
R
tv
R
S Δ
=
Δ
=
Δ
τ
τ
r
r
,
причем вектор
n
⋅Δ=
Δ
τ
τ
, где
n
r
- единичный вектор )1( =n
,
направленный по нормали к траектории, т.е. к центру кривизны.
Следовательно,
n
R
v
t
d
t
d
t
r
r
⋅=
Δ
Δ
=
→Δ
τ
τ
0
lim
, (2.21)
Рис.2.5 
                                      12
                            r r        r
                            a = aτ + an                           (2.17)
причем по модулю полное ускорение равно:
                             r
                       a = a = aτ2 + an2 .                        (2.18)
                                                   r
     Отметим, что направление вектора aτ совпадает с направле-
                 r
нием скорости v при ускоренном движении, и противоположно
                             r
направлению скорости v при замедленном движении. Найдем
                                                             r
выражения для модулей aτ и a n . Представим скорость v в виде:
                              r      v
                             v = v ⋅τ ,                           (2.19)
                                      r                       r
     где v – модуль скорости, τ - единичный вектор ( τ = 1 ), на-
правленный по касательной к траектории вдоль скорости. Тогда
вектор ускорения, согласно определению (2.11):
                                                 r
                   r d r           dv r         dτ
                  a = (vτ ) =          ⋅τ + v ⋅     .             (2.20)
                       dt          dt           dt
     При движении точки по криволинейной траектории вектор
r
τ изменяет свое направление в пространстве, следовательно, изменя-
                                 r
                                dτ
ется и по времени. Найдем          . Рассмотрим две близкие точки тра-
                                dt
                                                      r
                                                   Δτ   ΔS vΔt
ектории 1 и 2 (рис.2.5). Из рис. 2.5 следует r =          =     ,
                                                    τ   R   R
                   r      r r         r                       r
причем вектор Δτ = Δτ ⋅ n , где n - единичный вектор ( n = 1) ,
направленный по нормали к траектории, т.е. к центру кривизны.
Следовательно,
                           r             r
                         dτ           Δτ v r
                             = lim         = ⋅n,                  (2.21)
                         dt Δt →0 Δt R




                                Рис.2.5

Страницы