Механика и молекулярная физика - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

30
Проинтегрировав (4.17), получаем:
21
12
2
12
2
1
2
1
1
UU
r
Mm
r
Mm
r
Mm
r
dr
MmA
r
r
r
r
−=−=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−=−=
∫
γγ
γγ
. (4.18)
Следовательно, потенциальная энергия:
const
r
Mm
rU +−=
γ
)(
. (4.19)
Постоянная интегрирования выбирается из условия при
0→U
∞→
r
, следовательно:
r
Mm
rU
γ
−=)(
. (4.20)
Физический смысл потенциальной энергии (4.20) состоит в том,
что она равна работе, совершаемой полем тяготения, при удале-
нии массы m с расстояния r от силового центра на бесконечность.
Зная вид функции U(x, y, z), можно найти силу, действующую на
тело в каждой точке пространства.
Рассмотрим, например, перемещение тела вдоль оси x на dx.
При этом поле сил совершает работу
dxFxdFdA
x
=⋅=
r
r
. Согласно
(4.14) эта работа может быть представлена как убыль потенциаль-
ной энергии
dUdA −
=
. Из сравнения полученных выражений для
элементарной работы
dA
следует:
dUdxF
x
−
=
. Следовательно:
dx
dU
F
x
−=
. (4.21)
В общем случае можно получить:
dz
dU
F
dy
dU
F
dx
dU
F
zyx
−=−=−= ,,
. (4.22)
Соотношения (4.22) можно записать в другом, более общем виде,
используя понятие оператора
k
z
j
y
i
x
r
r
r
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
, обозначаемо-
го иначе как grad.
g
rad
U
F
−
=
⋅
−∇=
. (4.23)
Для центральной силы F(r), которая является функцией толь-
                                       30
Проинтегрировав (4.17), получаем:
                             r2               2  r
                                  dr   ⎛ 1⎞
                A12   = −γMm ∫ 2 = −γMm⎜ − ⎟ =
                             r1 r      ⎝ r ⎠ r1
                                                     .            (4.18)
                   Mm        Mm
                =γ      −γ          = U1 − U 2
                    r2        r1
Следовательно, потенциальная энергия:
                                   Mm
                     U (r ) = −γ         + const .                 (4.19)
                                     r
Постоянная интегрирования выбирается из условия U → 0 при
r → ∞ , следовательно:
                                            Mm
                             U ( r ) = −γ       .                  (4.20)
                                             r
Физический смысл потенциальной энергии (4.20) состоит в том,
что она равна работе, совершаемой полем тяготения, при удале-
нии массы m с расстояния r от силового центра на бесконечность.
Зная вид функции U(x, y, z), можно найти силу, действующую на
тело в каждой точке пространства.
      Рассмотрим, например, перемещение тела        r rвдоль оси x на dx.
При этом поле сил совершает работу dA = F ⋅ dx = Fx dx . Согласно
(4.14) эта работа может быть представлена как убыль потенциаль-
ной энергии dA = −dU . Из сравнения полученных выражений для
элементарной работы dA следует: Fx dx = − dU . Следовательно:
                                  dU
                         Fx = −        .                           (4.21)
                                   dx
В общем случае можно получить:
                     dU              dU           dU
              Fx = −     , Fy = −        , Fz = −     .            (4.22)
                      dx             dy            dz
Соотношения (4.22) можно записать в другом, более общем виде,
                                          ∂ r ∂ r ∂ r
используя понятие оператора ∇ = i +                 j + k , обозначаемо-
                                         ∂x      ∂y     ∂z
го иначе как grad.
                      F = −∇ ⋅ U = − gradU .                       (4.23)
      Для центральной силы F(r), которая является функцией толь-

Страницы