Механика и молекулярная физика - 41 стр.

                                          41
щью теоремы Штейнера.




                                       Рис.5.2
      Для доказательства теоремы Штейнера рассмотрим произвольное
твердое тело (рис. 5.2). Пусть ось О проходит через центр масс этого
тела перпендикулярно плоскости рисунка, а ось О′, параллельная оси
О, находится на расстоянии a от нее. Выберем начала координат систем
отсчета (x, y) и (x′, y′) d в точках О и О′, причем оси x и x′ совместим.
Тогда между осями y и y′ будет расстояние a. Пусть элемент массы
                                      /
m j находится на расстояниях r j и r j от осей О и О′ и имеет координаты
x j , y j относительно точки О и координаты x /j , y /j относительно точки
О′. Тогда: r j2 = x 2j + y 2j , r j/ 2 = x /j 2 + y /j 2 = ( x j + a ) 2 + y 2j , так как
x /j = x j + a, y /j = y j .
       Момент инерции тела относительно оси О, проходящей че-
рез центр масс тела:
                       I 0 = ∑ m j r j2 = ∑ m j ( x 2j + y 2j ) . (5.16)
                              j             j
Момент инерции относительно оси О′:
                                                [
             I = ∑ m j r j/ 2 = ∑ m j ( x j + a) 2 + y 2j .         ]            (5.17)
                          j
Раскрывая в (5.17) скобки и группируя члены, получим:
          I = ∑ m j ( x 2j + y 2j ) + 2a ∑ m j x j + a 2 ∑ m j .                 (5.18)
                     j                          j               j
Первый член в выражении (5.18) совпадает с выражением (5.16),