Механика и молекулярная физика - 42 стр.

                                 42
т.е. представляет собой момент инерции IO относительно оси О,
проходящей через центр масс. В третьем члене ∑ m j = m - масса
                                                    j
тела. Для того чтобы определить величину второго члена, вспом-
ним формулу (5.2) для координат центра масс. В нашем случае
центр масс находится на оси О, следовательно, координата цен-
тра масс по оси x равна нулю, т.е. xC = 0 . Согласно (5.2),
      ⎛           ⎞
x C = ⎜ ∑ m j x j ⎟ m , следовательно, второй член в (5.18) равен ну-
      ⎜           ⎟
      ⎝ j         ⎠
лю. В результате выражение (5.18) принимает вид:
                        I = I 0 + ma 2 .                 (5.19)
     Полученная формула (5.19) представляет собой теорему
Штейнера: момент инерции твердого тела относительно произ-
вольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, па-
раллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произ-
ведения массы тела на квадрат расстояния между осями.
5.5. Основное уравнение динамики вращательного движения
     Разобьем твердое тело на малые элементы и запишем для
каждого из этих элементов уравнение движения, взяв за основу
уравнение вращательного движения (5.7) материальной точки:
                         I jε = M j ,                   (5.20)
где I j = m j r j2 - момент инерции j – го элемента твердого тела с
массой m j , находящегося на расстоянии r j от оси вращения, M j
- суммарный момент внешних и внутренних сил, действующих на
этот элемент.
     Просуммировав уравнения типа (5.20), записанные для всех
элементов твердого тела, и учитывая, что угловое ускорение ε
одинаково для всех элементов, получим:
                                Iε = M ,                      (5.21)
где I = ∑ I j = ∑ m j r j2 - момент инерции твердого тела (5. 9),
          j     j
M = ∑ M j - суммарный момент только внешних сил, действую-
      j