Механика и молекулярная физика - 49 стр.

                                 49
                                  dω            dϕ
                  dA = Mdϕ = I       dϕ = Idω ⋅      =
                                  dt            dt
                                                             (6.15)
                               ⎛ ω2 ⎞   ⎛ Iω2 ⎞
                   = Iωdω = Id ⎜ ⎟ = d ⎜      ⎟
                               ⎜ 2 ⎟    ⎜ 2 ⎟
                               ⎝ ⎠      ⎝     ⎠
       т.е. совершаемая за время dt работа идет на изменение кине-
тической энергии вращения. Интегрируя (6.15) по времени от t1
до t2, получим:
                              Iω22 Iω12
                        A12 =      −     = T2 − T1 ,         (6.16)
                                2     2
что аналогично формуле (4.13) для поступательного движения.
        6.5. Кинетическая энергия сложного движения
      Во многих случаях тело одновременно с вращением может дви-
гаться и поступательно. Такое движение называется сложным. Одной
из разновидностей сложного движения является плоское движение,
особенности которого рассматривались в начале раздела 5.
      Рассчитаем кинетическую энергию тела, совершающего
плоское движение. Такое движение можно в каждый момент вре-
мени представить как вращение вокруг оси, проходящей через точ-
ку, которая в этот момент времени покоится. Например, при каче-
нии колеса покоится точка обода, соприкасающаяся с дорогой. Та-
кая ось называется мгновенной осью вращения. Нам важно то, что
в каждый момент времени движение тела можно представить толь-
ко как вращение вокруг этой оси. Тогда, согласно (6.10), полная
кинетическая энергия тела в любой момент времени будет равна
T = I ′ ⋅ ω2 2 , где ω - угловая скорость вращения тела, не зависящая
от выбора оси вращения, I ′ - момент инерции тела относительно
мгновенной оси вращения. Если центр масс находится на расстоя-
нии R от мгновенной оси вращения, то по теореме Штейнера (см.
раздел 5.3) момент инерции I ′ можно выразить через момент инер-
ции тела относительно оси, проходящей через центр масс I 0 , с по-
мощью соотношения I ′ = I 0 + mR 2 , где m – масса тела. Подставив
это выражение в формулу для кинетической энергии, и учтя, что