Механика и молекулярная физика - 54 стр.

                                      54
сти и ускорения оказываются сдвинутыми по фазе относительно
колебаний смещения:
                                                     π
                     v(t ) = Aω0 cos(ω0t + ϕ 0 + ),
                                                2                     (7.4)
                a(t ) = Aω02 cos(ω0t + ϕ 0 + π ).
    Сравнивая между собой x(t) из (7.2) и a(t) из (7. 3), можно
получить соотношение между d 2 x dt 2 и x(t ) :
                              d 2x
                                     + ω02 x = 0 .                     (7.5)
                          dt 2
     Полученное уравнение называется уравнением гармониче-
ских колебаний и представляет собой линейное однородное диф-
ференциальное уравнение 2-го порядка. В теории дифференци-
альных уравнений доказывается, что решением уравнения (7. 5)
как раз и является функция: x(t ) = A cos(ω 0 t + ϕ 0 ) , где A, ϕ 0 - про-
извольные постоянные, определяемые начальными условиями, а
ω0 называется частотой собственных колебаний системы.
     Любой гармонический процесс, независимо от его физиче-
ской природы, описывается уравнением типа (7.5). И обратно,
любое решение, удовлетворяющее этому уравнению, описывает
гармонический процесс.
     Умножая левую и правую части уравнения (7.5) на массу
колеблющейся точки m и вспоминая, что ma = F , получим
F = −mω02 x. Тем самым устанавливается связь между силой, дей-
ствующей на точку, и ее смещением при гармонических колеба-
ниях: при отклонениях тела от положения равновесия на него
действует сила, пропорциональная величине смещения, но на-
правленная в противоположную сторону. Эту силу называют воз-
вращающей силой.
     Примером гармонических колебаний могут служить коле-
бания грузика на пружине. Пусть на пружине жесткостью k под-
вешен грузик массой m. В положении равновесия пружина растя-
нута на длину x0 за счет действия силы тяжести: mg = kx0
(рис.7.3). При смещении грузика от положения равновесия на x