Механика и молекулярная физика - 57 стр.

                                     57
вая, что a = l, получим для малых колебаний математического
маятника:
                            g                l
                    ω0 =       , TМ . = 2π     .          (7.10)
                            l                g
     Сравнение формул (7.9) и (7.10) приводит к выводу, что пе-
риод колебаний физического маятника равен периоду колебаний
математического маятника с длиной:
                                  I
                         l пр. =      .                   (7.11)
                                 ma
     Величина l пр. называется приведенной длиной физического
маятника. Пользуясь теоремой Штейнера (5.19) можно доказать,
что           всегда              lпр. > a .     Действительно,
l пр. = I ma = ( I 0 + ma 2 ) ma = a + I 0 ma , где I0 - момент инерции
тела относительно оси, проходящей через его центр масс. По-
скольку момент инерции I 0 - величина положительная, то приве-
денное неравенство выполняется.
              7.3. Энергия колебательного движения
     В колебательных системах, находящихся в поле консерва-
тивных сил, полная механическая энергия колебаний сохраняет-
ся. Однако кинетическая и потенциальная энергии в процессе ко-
лебаний непрерывно изменяются, переходя друг в друга. Рас-
смотрим обмен между двумя формами энергии на примере коле-
баний физического маятника (рис.7. 4).
     Согласно уравнению колебаний (7.8):
                       ϕ (t ) = ϕ 0 cos(ω0 t + α 0 ) ,                 (7.12)
     где ϕ 0 - угловая амплитуда колебаний, ω0 = mga I - собст-
венная круговая частота колебаний, α 0 - начальная фаза колебаний.
     Кинетическая энергия физического маятника при колебани-
ях определяется выражением:
                  Iω02 1 ⎛ dϕ ⎞         Iω02ϕ 02
                                    2
         T (t ) =     = I⎜         ⎟ =           sin 2 (ω0 t + α 0 ) . (7.13)
                   2    2 ⎝ dt ⎠           2
     Потенциальная энергия U = mgh , где h = a(1 − cos ϕ ) - изме-