Механика и молекулярная физика - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

58
нение высоты центра масс относительно положения равновесия
(см. рис. 7.4). При малых углах отклонения
ϕ
2
1cos
2
ϕ
ϕ
−≅
, сле-
довательно, потенциальная энергия физического маятника при
колебаниях:
)(cos
22
)(
0
22
0
2
αϕ
ϕ
+ω=≅
0
t
mgamga
tU
. (7.14)
Используя выражение (7.9) для
0
ω
потенциальную энергию
(7.14) можно представить в виде:
)(cos
2
)(
0
2
2
0
α
ϕ
+ω
ω
=
0
2
0
t
I
tU
. (7.15)
Поскольку
[
]
2)(2cos1)(cos
00
2
αα
+ω−=+ω
00
tt
, можно за-
ключить, что T и U изменяются по времени с частотой, в два раза
большей частоты собственных колебаний, т.е. за один период ко-
лебаний каждая из энергий успевает дважды перейти в другой
вид энергии. Действительно, потенциальная энергия, имея мак-
симальное значение при амплитудном отклонении тела от поло-
жения равновесия, дважды за период полностью переходит в ки-
нетическую энергию при прохождении телом положения равно-
весия. Сложив об выражения для энергий (7.13) и (7.15), полу-
чим, что полная механическая энергия:
[]
const
I
tt
I
UTE
=
ω
=
=+ω++ω
ω
=+=
2
0
00
2
0
2
)(cos)(sin
2
2
0
0
2
0
2
2
0
ϕ
αα
ϕ
(7.16)
Т.е.
при гармонических колебаниях полная энергия остается по-
стоянной и пропорциональна квадрату амплитуды смещения тела
из положения равновесия.
Отметим, что максимальное значение кинетической и по-
тенциальной энергий при колебаниях одинаковы, т.е.
, а средние значения энергий за период колебаний
.. МАХМАХ
UT =
2EUT =〉〈=〉〈 , т.е. равны половине полной энергии колебаний. 
                                       58
нение высоты центра масс относительно положения равновесия
                                                                        ϕ2
(см. рис. 7.4). При малых углах отклонения ϕ cos ϕ ≅ 1 −                    , сле-
                                                                          2
довательно, потенциальная энергия физического маятника при
колебаниях:
                     mgaϕ 2 mga 2
            U (t ) ≅           =        ϕ 0 cos 2 (ω0 t + α 0 ) .           (7.14)
                       2           2
      Используя выражение (7.9) для ω0 потенциальную энергию
(7.14) можно представить в виде:
                                Iω02ϕ 02
                      U (t ) =           cos 2 (ω0 t + α 0 ) .              (7.15)
                                   2
      Поскольку cos 2 (ω0 t + α 0 ) = [1 − cos 2(ω0 t + α 0 )] 2 , можно за-
ключить, что T и U изменяются по времени с частотой, в два раза
большей частоты собственных колебаний, т.е. за один период ко-
лебаний каждая из энергий успевает дважды перейти в другой
вид энергии. Действительно, потенциальная энергия, имея мак-
симальное значение при амплитудном отклонении тела от поло-
жения равновесия, дважды за период полностью переходит в ки-
нетическую энергию при прохождении телом положения равно-
весия. Сложив об выражения для энергий (7.13) и (7.15), полу-
чим, что полная механическая энергия:
        E = T +U =
                      Iω02ϕ 02
                         2
                              [                                     ]
                                sin 2 (ω0t + α 0 ) + cos 2 (ω0t + α 0 ) =
                                                                            (7.16)
             2 2
          Iω ϕ
        = 0 0 = const
             2
Т.е. при гармонических колебаниях полная энергия остается по-
стоянной и пропорциональна квадрату амплитуды смещения тела
из положения равновесия.
      Отметим, что максимальное значение кинетической и по-
тенциальной энергий при колебаниях одинаковы, т.е.
TМАХ . = U МАХ . , а средние значения энергий за период колебаний
〈T 〉 = 〈U 〉 = E 2 , т.е. равны половине полной энергии колебаний.

Страницы